1.7. Основні постулати квантової механіки.

В квантовій механіці фізичному стану системи відповідає хвильова функція. Сукупністю , наприклад, вичерпуються всі можливі стани системи в енергетичному представленні . Процес вимірювання вносить збурення і, взагалі то кажучи, міняє стан системи. З точки зору квантової механіки (К.М.) процес вимірювання фізичної величини (енергії, імпульсу і т.п.) відповідає тому, що на хвильову функцію діє оператор, що співствляється спостережуваній фізичній величині. Допустимо, що система знаходиться в стані і, як наслідок, її енергія рівна . Вимірюванню іншої фізичної величини відповідає дії іншого оператора на хвильову функцію Якщо хвильова функція не відноситься до числа власних функцій оператора , дія останнього приведе до зміни стану системи і вона більше не володітиме енергією . Проте коли є власною функцією оператора , стан системи є незмінним і можна одночасно точно визначити енергію так і фізичну величину, якій відповідає оператор .

Необхідною і достатньою умовою того, що два лінійних оператори, в нашому випадку і мають спільну систему власних функцій, є їх комутативність, тобто Якщо власному значенню відповідає більше ніж одна функція ( тобто енергетичний спектр вироджений), то завжди можна взяти лінійну комбінацію функцій , які ортогональні і є власними функціями і .

1.8. Принцип невизначеності.

Оскільки існують пари величин, які не можуть бути точно виміряні, найдемо величину цієї невизначеності. Прикладом такої пари можуть служити координата та імпульс, так як оператор імпульсу не комутує з

Таким чином

Відомо, що невизначеності координати та імпульсу характеризуються відповідними середньоквадратичними відхиленнями від середнього:

При (це буде виконуватися коли парна функція) будемо мати:

– в результаті інтегрування по частинах.

Отже

Скористаємося нерівністю Шварта для функцій приходимо до співвідношення:

Якщо то отримаємо :

Приведемо приклади інших пар канонічно спряжених фізичних величин, що підкоряються принципу невизначеності:

– енергія системи і час;

– кут повороту і момент імпульсу;

– число квантів і фаза коливань гармонічного осцилятора.

Лекція 2 Квантовий гармонічний осцилятор

2.1.Гармонічний осцилятор.

Гармонічний осцилятор складається із маси , на яку діє сила, що пропорційна зміщенню цієї маси відносно деякої точки (ця точка взята за початок координат). Власні значення в цій задачі визначаються вимогами, що накладаються на поведінку хвильової функції в нескінченності. Хвильове рівняння для одномірного осцилятора має вигляд:

(2.1)

Введемо нові позначення: ,

і запишемо рівняння (2.1) в більш компактній формі:

(2.2)

При функція веде себе як тому природно шукати розв’язок у вигляді:

, (2.3)

де – поліном скінченого степеня від . Підставивши (2.3) в (2.2) приходимо до рівняння :

. (2.4)

У відповідності із зауваженням відносно характеру функції покладемо

. (2.5)

Підставивши (2.5) в (2.4) і прирівнявши до нуля коефіцієнти при різних степенях

отримаємо:

,

(2.6)

…………………................................

Для виконання цих умов, з врахуванням того, що повинна складатися з скінченого числа членів випливає, що і

Відповідно, коли маємо поліном парний, коли маємо поліном непарний. Об’єднуючи умови і , будемо мати , де : . Згадуючи, що приходимо до співвідношення:

, (3.7)

в якому – енергія -го власного стану.

З (2.7) видно, що навіть в нижчому енергетичному стані з гармонічний осцилятор володіє певною енергією Найменша енергія класичного осцилятора рівна нулю.

2.2.Поліном Ерміта.

Розв’язками рівняння (2.4), які відповідають різним значенням , є поліном порядку . Поклавши в рівняння (2.4) можна привести диференціальне рівняння до виду:

. (2.8)

Поліноми можна отримати ще таким чином:

(2.9)

Приведемо перші три поліноми:

. (2.10)