4.3. Погрешность аппроксимации кубическим сплайном

Теорема. Если функция f(x) при x[x₀, x_n] j раз непрерывно дифференцируема и k=min{j, 4}, то для mk-1

, (2.4.3)

причем c_m не зависит от h_i и i.

Примечание 1. Допустим, вторая производная f(x) непрерывна, а третья и четвертая – кусочно-непрерывны и могут иметь разрывы только первого рода в узлах сетки x_i. Тогда оценка (2.4.3) остается в силе, если вместо символа max использовать sup. Дело в том, что рассматриваемый способ построения сплайна позволяет точно строить как любой многочлен третьей степени на всем интервале [x₀,x_n] (при этом обеспечивается непрерывность третьей производной), так и любую заданную функцию, составленную из многочленов третьей степени, если эта функция имеет непрерывную вторую производную.

Примечание 2. Если производная f''(x) имеет разрывы 1-го рода или граничные значения второй производной заданы с ошибкой, то оценка (2.4.3) остается справедливой при k=2, m1.

4.4. Алгоритм построения интерполяционного кубического сплайна

Пусть каждому значению аргумента x_i, i=0,...,n соответствуют значения функции f(x_i)=y_i и требуется найти функциональную зависимость в виде сплайна (2.4.1), удовлетворяющего перечисленным ниже требованиям:

1)  функция S₃(x) непрерывна на отрезке [a,b] вместе со своими производными до второго порядка включительно;

2)  S₃(x_i)=y_i, i=0,1,...,n;

3)  функция S₃(x) удовлетворяет одному из вариантов краевых условий а-в (условия а,б,в могут задаваться смешанно, т.е. на одном конце первая производная, на другом - вторая).

Сформулированная задача имеет единственное решение.

Для понижения порядка системы уравнений, которую приходится решать для определения коэффициентов сплайна, кубические многочлены записываются в специальном виде, что позволяет использовать большую часть условий при построении.

Вторая производная S"₃(x) непрерывна и на каждом отрезке [x_i-1, x_i], (i=1,...,n), выражается линейной функцией, поэтому представим ее в виде интерполяционного многочлена Лагранжа 1-й степени

, (2.4.4)

где h_i = x_i-x_i-1, m_i= S"₃(x_i).

Проинтегрируем обе части равенства (2.4.4)

, (2.4.5)

где . В силу непрерывности

.

Отсюда

, i=1,...,n (2.4.6)

Проинтегрируем (2.4.5)

,

(2.4.7)

где . В силу непрерывности

,.

Тем самым, получаем систему уравнений

, i=1,...,n. (2.4.8)

Последовательно вычитая последующее уравнение из предыдущего, получим

,

или с учетом (2.4.6)

, i=1,...,n-1. (2.4.9)

Если известны m₀=f"(a) и m_n= f"(b), то m_i, i=1,...,n-1 определяются из решения системы линейных алгебраических уравнений (2.4.9).

Пусть известны m₀=f"(a) и p_n=f(b). Тогда систему (2.4.9) необходимо дополнить. Согласно (2.4.8) n-е уравнение

. (2.4.10)

Если известны m_n=f"(b) и p₀=f(a), то подставляя полученное из (2.4.6) значение p₁ в (2.4.8) при i=1 найдем

.

Тем самым получается уравнение с номером i=0, дополняющее систему (2.4.9)

. (2.4.11)

Если известны p₀=f(a) и p_n=f(b), то к системе (2.4.9) добавляются оба уравнения (2.4.10) и (2.4.11). В случае задания краевых условий вида в) к системе (2.4.9) вместо (2.4.10) и (2.4.11) добавляются уравнения, полученные дифференциро­ванием (2.4.4)

, (2.4.12)

Система линейных алгебраических уравнений (2.4.9)-(2.4.12) имеет трехдиагональную матрицу с диагональным преобладанием. Такие матрицы являются неособенными. Поэтому неизвестные m₀, m₂,..., m_n находятся однозначно.

В результате решения системы уравнений определяются параметры m_i, i=0,…,n. Тогда выразив p_i из (2.4.8) и подставив в (2.4.7), получим

(2.4.13)

По этой формуле вычисляются значения функции S₃(x).

Решение системы линейных алгебраических уравнений может быть найдено итерационными и прямыми методами решения, в том числе методом прогонки. Для решения задачи этим методом требуется выполнить примерно 3n сложений, 3n умножений, 2n делений.