Лекция 2: простые динамические модели рынка одного товара

1. Паутинообразная модель рынка одного товара (дискретная и непрерывная модели).

Дискретная модель.

Простейшие модели экономического равновесия разрабатны в 30-50гг. 20-го века.

Рассмотрим рынок одного товара. Сделаем ряд допущений:

- у производителей не возникают трудности с покупкой ресурсов;

- объединим всех покупателей в одну группу и будем рассматривать их как одного покупателя;

- объединим всех продавцов в другую группу и будем рассматривать их как одного продавца;

- допустим, что весь произведенный товар реализуется сразу (единовременно).

Рассмотрим ситуацию на рынке, когда предложение товара постоянно отстает от спроса, в дискретном анализе на один интервал.

Интервалы времени одинаковы и последовательно принимают значения:

Если (time) – текущий интервал времени, то – предшествующий, а последующий интервал времени.

Такая ситуация нередко наблюдается на рынке нового товара. Функции спроса и предложения на данный товар являются некоторыми функциями от цены: и

Объем товара произведен в предыдущем временном интервале , а реализуется в текущем интервале .

Производители руководствуются ценой и производят продукцию в объеме . Данное предложение товара реализуется в следующем временном интервале по новой цене спроса .

Общую схему действия модели можно представить следующим образом:

в начальный интервал времени имеем ,

в следующий интервал времени имеем и т.д.

Так как известны функции спроса и предложения, то можно определить равновесную цену. Для этого необходимо приравнять функции спроса и предложения:

,

где (equilibrium) - индекс, означающий равновесное значение величины объема и цены, соответственно ().

Если функции спроса и предложения линейны, то, приравнивая их, получим одну точку равновесия и единственное значением равновесной цены и равновесного объема.

Если функции спроса и предложения не линейны, то получим два или более значений равновесной цены и равновесного объема. В таком случае необходимо провести дополнительное исследование и определить, в какую точку равновесия приходит система под влиянием спроса и предложения и факторов их определяющих.

Проиллюстрируем графически паутинообразную модель. Первоначально находимся в точке . В этой точке производители руководствуются ценой и производят продукцию в объеме в период времени .

Реализуется товар в точке в периоде по цене спроса . В периоде производители увеличивают предложение товара до , так как выросла цена товара, и находятся в точке на кривой предложения с координатами .

Продается товар в точке . Поскольку предложение товара возросло, то, чтобы продать весь товар, приходится снизить цену с до .

В следующий период времени производители руководствуются ценой , производят объем продукции в точке на кривой предложения с координатами . Реализуется эта продукция по цене в точке и т.д. Рынок приходит в состояние равновесия в точке С.

Аналитическая интерпретация модели состоит в следующем:

Для простоты будем считать, что спрос и предложения являются линейными функциями:

; ,

где – конкретные параметры каждого товара.

Находим равновесные объем и цену, приравняв функцию спроса и предложения: .

Подставим равновесное значение цены в функции спроса и предложения и определим равновесный объем: . Так как в точке равновесия объем спроса равен объему предложение, то справедливо выражение:

. (1)

Запишем условие равновесия для любого времени :

(2)

Выражение (2) справедливо для любой точки. Подставляя в выражении (2) знак равенства, предполагаем, что весь произведенный продукт реализован.

Вычтем из уравнения (2) уравнение (1):

.

Перейдем к следующим обозначениям:

характеризует отклонение объема выпуска в любой период времени от равновесного объема выпуска;

представляет отклонение цены спроса в любой момент времени от равновесного значения;

- отклонение цены предложения в любой момент времени от равновесного значения.

Тогда действие модели можно представить разностными уравнениями:

(3).

Выражение (3) аналогично выражению (2), но описывает отклонение цены и выпуска в некоторый период времени от их равновесных значений.

Из уравнения (3) можно выразить значение цены в любой период времени следующим образом: . Обозначим , тогда . Величина , так как наклон кривой спроса для нормальных товаров отрицателен , а наклон кривой предложения – положителен .

Так как , то , где - известная величина – цена в начальный период времени , а можно определить из уравнения (3), поскольку известны функции спроса и предложения.

Во все периоды времени имеем:

;

;

;

,

т.е. для любого периода времени имеем . Отсюда

.

Отклонение цены в любой период времени от ее равновесного значения принимает то положительные, то отрицательные значения. Так как начальное отклонение , то - положительная величина.

Число - величина отрицательная, так как - наклон кривой предложения, - наклон кривой спроса. Обозначим . Тогда

;

;

;

….;

, т.е. знак отклонения будет чередоваться: минус, плюс, минус и т.д. Следовательно, будет то меньше, то больше равновесной цены.

У данной модели есть развитие. Под влиянием неценовых факторов спроса и предложения кривые спроса и предложения перемещаются, и с помощью модели можно рассматривать, как рынок приходит в состояние равновесия до того периода пока не возникает новое возмущение.

Например, в спокойное течение дел на рынке вмешивается резкий рост предложения, если продавцы выбрасывают запасы товара. В новой ситуации в анализе рынка товара следует соединить рассмотренную модель с моделью включения запаса.

Непрерывная модель.

В модели время течет непрерывно, , и все параметры являются функциями времени: , , . Поскольку изменение цены происходит на стороне спроса, то спрос зависит от цены и ее изменения , а предложение зависит только от цены. В каждый момент времени спрос поглощает предложение, т.е. .

Используем линейные функции спроса и предложения в следующем виде: ; .

Определим равновесные значения цены и объема, приравняв функции спроса и предложения:

. (1)

Так как в точке равновесия цена задана рынком, то

Значения и в любой момент времени удовлетворяют равенству:

. (2)

Вычитаем из выражения (2) выражение (1) и получим:

.

Как и в дискретной модели вводим обозначение: . Тогда . В новых обозначениях выражение (2) принимает вид:

(3).

Уравнения (2) и (3) представляют собой дифференциальные уравнения первого порядка. Обозначаем , тогда .

- дифференциальное уравнение относительно .

Используя правило логарифмического дифференцирования, получим: . Решение имеет вид: , . Следовательно, . Зная цену, и подставив ее в функцию предложения, всегда можно найти объем продукции, который надо произвести.