Практичне заняття 10.

14. Функції, що зберігають нуль та функції, що зберігають одиницю. Монотонні функції

Булева функція називається функцією, що зберігає 0, якщо на нульовому слові вона приймає значення 0, тобто якщо .

Булева функція називається функцією, що зберігає 1, якщо на одиничному слові вона приймає значення 1, тобто якщо .

Приклад 1. Функції і зберігають нуль, оскільки , Крім того, ці функції зберігають одиницю оскільки ,

Приклад 2. Функція зберігає 1 і не зберігає 0, оскільки

,

Введемо на множині слів відношення порядку, яке будемо позначати символом . Нехай і – два слова. Тоді

,

якщо для всіх .

Якщо це не так хоча б для однієї пари (), то слова і – незрівнянні

Приклад 3. Для функцій двох змінних є чотири слова: 00, 01, 10, 11. При цьому

, , , ,

, ,

, ,

.

Незрівнянними є слова 01 і 10.

Булева функція називається монотонною, якщо для будь яких слів і для яких ,

,

, , .

Приклад 4. Дослідити на монотонність функцію .

Виконання

, ;

, ;

, ;

, ;

, .

Висловом: – функція монотонна.

Приклад 5. Дослідити на монотонність функцію .

Виконання

Висновок: – функція не монотонна.

Теорема 1. Булева функція відмінна від констант 0 та 1 є монотонна, якщо і тільки якщо вона допускає подання формулою булевої алгебри без заперечень.

Приклад 6. Визначить , чи є функція монотонною.

Виконання.

Одержана формула булевої алгебри не містить заперечень, отже є монотонна функція.

Практичне заняття 11.

15. Класи Поста. Теорема Поста

Класами Поста називають такі п’ять класів (множин) булевих функцій

- клас функцій, що зберігають 0;

- клас функцій, що зберігають 1;

- клас само двоїстих функцій;

- клас монотонних функцій;

- клас лінійних функцій;

Булева функція може належати одному або декільком класам Поста, а може і не належати жодному.

Приклад 1. Булева функція належить всім класам Поста.

Дійсно:

– функція зберігає 0;

- функція зберігає 1;

- функція само двоїста

і – функція монотонна;

Функція не містить кон’юнкцій, тому вона лінійна.

Приклад 2. Функція (штрих Шеффера) не належить жодному класу Поста:

Дійсно.

1. Функція має поліном Жигалкіна нелінійний і тому не належить класу лінійних функцій;

Із таблиці істинності функції

випливає що

2. - функція не зберігає 0;

3. - функція не зберігає 1;

4. але - функція не монотонна;

5. але – функція не само двоїста.

Нехай – множина всіх булевих функцій, що залежать від будь-якого числа змінних, і нехай – система булевих функцій.

Замкненням множини називається множина , що складається з булевих функцій, які можна одержати суперпозицією функцій з .Якщо , то множина булевих функцій називається замкненим класом

Система булевих функцій називається функціонально повною, якщо .

Теорема 1. Кожний з класів Поста замкнений.

Теорема 2 (теорема Поста про повноту). Система повна якщо і тільки якщо вона містить хоча б одну функцію, яка не зберігає 0, хоча б одну функцію, яка не зберігає 1, хоча б одну не само двоїсту функцію, хоча б одну не монотонну функцію і хоча б одну нелінійну функцію.

Оскільки існують булеві функції, які не належать жодному класу Поста, то мінімальна кількість функцій функціонально повної системи булевих функцій дорівнює 1.

Повна система булевих функцій називається нескоротною, якщо з неї не можна виключити жодної функції без утрати властивості повноти. Звідси, як наслідок, випливає, що максимальна кількість функцій нескоротної системи булевих функцій дорівнює чотирьом.

Приклад 3. Визначити за допомогою теореми Поста про повноту, чи є система булевих функцій функціонально повною?

Виконання