Практичне заняття 8.

12. Двоїстість булевих функцій

Булева функція називається двоїстою до функції , якщо

.

Відношення двоїстості булевих функцій є симетричним

.

Булева функція для якої називається само двоїстою.

Побудуємо таблицю істинності для функції та враховуючи, що , і т. д.

З останньої таблиці можна вивести

Правило побудови таблиці істинності двоїстої функції. Щоб побудувати таблицю істинності двоїстої функції, необхідно:

• побудувати таблицю істинності заданої функції;

• кожне її значення інверсувати ;

• одержаний рядок записати у зворотному порядку.

Приклад. Відомо, що булева функція на словах 001, 011, 111. Знайти двоїсту функцію

Виконання. Випишемо таблицю істинності заданої функції, інвертуємо її значення на всіх словах і одержану послідовність запишемо в зворотному порядку

Таблиця істинності для само двоїстої функції двох змінних має вигляд

Як видно з цієї таблиці, кожне значення само двоїстої функції дорівнює значенню симетричного до нього значення (симетричність відносно прямої, яка ділить таблицю істинності навпіл). Отже за таблицею істинності завжди можна визначити, є дана функція само двоїста, чи ні.

Приклад. Функції та задані таблицями відповідності.

Визначити, чи дані функції само двоїсті, чи ні.

Виконання. З таблиці істинності видно, що кожне значення функції є запереченням симетричного значення:

,

, .

Звідси висновок: функція – само двоїста.

Функція не є само двоїстою оскільки

, .

Значення само двоїстої функції повністю визначається її значеннями на половині слів. Всього є слів, половина від них дорівнює . Таким чином кількість само двоїстих функцій від змінних дорівнює .

Нехай функція задана як суперпозиція функції і функцій , тобто

.

Можна довести, що для функції двоїста функція має вигляд

.

Знайдемо двоїсті функції до заперечення, кон’юнкції, диз’юнкції, константи 0 та константи 1.

1. ,

2. , .

3. , .

4. , .

5. , .

Отже:

• кон’юнкція двоїста диз’юнкції, і навпаки;

• константа 0 двоїста константі 1, і навпаки;

• заперечення само двоїста функція.

Звідси випливає принцип двоїстості (принцип дуальності). Для того, щоб одержати двоїсту функцію до булевої функції, заданої формулою алгебри логіки, необхідно у формулі замінити диз’юнкції на кон’юнкції, і навпаки, 0 на 1, і навпаки і застосувати круглі дужки, де необхідно для збереження первинного порядку виконання операцій.

Приклад. Побудувати двоїсту функцію до функції .

Виконання. В формулі виконаємо необхідні заміни:

. Операція диз’юнкції має виконуватися раніше, ніж перша операція кон’юнкції, тому використовуємо дужки. .

В підсумку одержуємо двоїсту функцію

.

Практичне заняття 9.

13. Поліном Жегалкіна. Лінійні функції

Поліномом Жегалкіна називається скінчена сума за модулем 2 попарно різних елементарних кон'юнкцій.

Кількість змінних, що входять до елементарної кон'юнкції, називають рангом елементарної кон'юнкції.

Кількість попарно різних елементарних кон'юнкцій полінома Жегалкіна називають довжиною полінома.

Теорема. Будь-яка булева функція може бути подана єдиним поліномом Жегалкіна.

Алгоритм побудови поліному Жегалкіна булевої функції, яка задано формулою алгебри Жегалкіна:

Розкрити дужки у заданій формулі. Для цього скористатись дистрибутивністю кон'юнкції відносно суми за модулем 2 (8.5).

Спростувати вираз, використовуючи формули (8.1)-(8.4).

Приклад 1. Записати поліном Жегалкіна для імплікації ().

Виконання.

.

Приклад 2. Записати поліном Жегалкіна для еквівалентності (~).

.

Булева функція називається лінійною, якщо вона може бути подана поліном Жегалкіна, що не містить кон'юнкцій змінних.

Приклад 3.

1. Заперечення – лінійна функція, оскільки її поліном Жегалкіна не містить кон'юнкцій змінних.

2. Диз'юнкція – нелінійна функція, оскільки її поліном Жегалкіна містить кон'юнкцію змінних х і у.

3. Імплікація – нелінійна функція, оскільки її поліном Жегалкіна (приклад 1) містить кон'юнкцію змінних х і у.

4. Еквівалентність є лінійною функцією, оскільки її поліном Жегалкіна (приклад 2) не містить кон'юнкцій змінних.

Приклад 4. Дослідити на лінійність функцію .

Виконання. Побудуємо поліном Жегалкіна:

Поліном Жегалкіна містить кон'юнкції змінних і тому функція є нелінійною функцією.

На єдності полінома Жегалкіна для будь-якої булевої функції заснований метод невизначених коефіцієнтів знаходження полінома Жегалкіна. Суть цього методу зрозуміла з прикладу.

Приклад 5. Побудувати поліном Жегалкіна для імплікації , використовуючи метод невизначених коефіцієнтів.

Виконання. Запишемо поліном для заданої функції у вигляді суми за модулем 2 всіх можливих елементарних кон'юнкцій змінних х і у з невизначеними коефіцієнтами:

, (*)

де коефіцієнти приймають значення з множини і визначають присутність або відсутність елементарних кон’юнкцій у поліномі.

Обчислимо значення функції на всіх словах з використанням (*):

;

;

;

.

Отже

.