Добавил:

mrthem Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Чувашский государственный университет им. И.Н. Ульянова

Предмет:

Физика

Файл:

Славутский Л.А. Волновые процессы и устройства

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.11.2018

Размер:

1.52 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 197 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

∂ 2 f + ω2

= 0 .

(3.34)

∂x2

e −ikx ,

Это уравнение имеет решение

eikx и

описывает

пространственную структуру волнового поля. Здесь

k 2 = ω2

называется волновым числом, ω

- круговая или циклическая

частота

волны,

f0 - амплитуда волны.

Таким

образом,

учетом (3.33),

решение уравнения

(3.31) представляется

виде

суммы

двух

волн,

распространяющихся

противоположных направлениях:

ϕ(x, t ) = f

ei (ωt−kx ) + f

ei (ωt+kx ) .

(3.35)

Совершенно

аналогично,

используя

подстановку

ϕ(r, t ) = f (r, t )eiωt

можно

решать

трехмерные

волновые

уравнения (3.8),(3.10.8) . В этом

случае получим

трехмерное

уравнение для волнового поля

f + k 2 f = 0 .

(3.36)

Это уравнение носит название

уравнения Гельмгольца

используется для описания неоднородных волновых полей. Далее мы изучим некоторые свойства его решений.

Поглощение и дисперсия

При выводе волнового уравнения для ЭМ поля мы пренебрегли проводимостью среды ( s = 0 в уравнении (3.7), а при выводе уравнения для упругих волн в жидкости - силами вязкого трения ( Fmp = 0 в уравнении (3.10.2). С учетом

проводимости уравнение для ЭМ волн имеет вид (3.7):

E − εμ ∂ 2 E −				4πμσ			∂E = 0 .			(3.37)

	c2 ∂t 2			c2				∂t
А уравнение для акустических волн					с		учетом вязкости
получается из системы (3.10.1)–(3.10.3)					при				x, h ¹ 0 :
U −	1	∂2U −		b		∂			U = 0 ,	(3.38)
			c2ρ			∂t
	c2 ∂t 2				0
61

где	b = ξ +	4	η	-	диссипативный коэффициент. Учет F

	3						mp

при	выводе		(3.38)		похож на	преобразования	тензора

упругих напряжений для твердого тела, поэтому коэффициент также зависит от объемного и сдвигового коэффициента вязкости, как и скорость продольной волны в твердом теле от

модуля сжатия и сдвига.

В обоих уравнениях (3.37, 3.38)

волновому

уравнению

добавляется

член

первой

производной

по

времени. Поэтому, подстановка

E,U = f (r, t )eiωt

приводит

(3.37, 3.38)

к уравнению Гельмгольца с комплексным волновым

числом :

+ k 2 f

= 0

k = kr

+ iδ ,

;

(3.39)

при этом

ω2

4πσ

μ ε + i

для ЭМ волн ,

(3.40)

ω2

bω

-1

bω

− i

; k ≈

1 + i

для ЗВ.

(3.41)

С учетом теплопроводности уточненное значение

b = ξ +

η + χ

−

где

χ - коэффициент теплопроводности.

Использование

комплексного

значения

в решении

(3.35)

приводит

появлению

действительного

множителя

e−δx ,

который

отвечает

за

экспоненциальное

пространственное затухание волнового поля. Таким образом,

мнимая	часть		комплексного			волнового		числа	имеет
физический		смысл декремента затухания, и окончательное
выражение		для	плоской волны, распространяющейся							в
направлении		x , принимает в действительных величинах вид
			ϕ( x , t ) = ϕ	0	e −δx	cos( ωt ± kx + ψ	0	) ,	(3.42)
					62

где ψ0 - начальная фаза волны. Зависимость волнового числа от


частоты	волны		k = k (ω)		называется	дисперсионным
соотношением,		а	среды, в	которых эта зависимость носит
нелинейный		характер		(когда	скорость	c = c(ω) ),	-

диспергирующими.

Поляризация ЭМ волн

Пусть направление распространения плоской ЭМ волны

совпадает с осью

x . Разложим вектор

в плоскости

x, y :

Ex = a1 cos(ωτ + ϕ1 ) = Re a1 exp(− iωτ − iϕ1 );

= a2 cos(ωτ + ϕ2 ) = Re a2 exp(− iωτ − iϕ2 ).

(3.43)

Здесь

τ = t − z

;

a , a

амплитуды; ϕ , ϕ

- фазы. Исключив

из (3.43) множитель exp(− iωτ) , получим уравнение эллипса:

−

2Ex Ey

= sin

= ϕ2 − ϕ1 .

cos

;

(3.44)

a1a2

Если

= ± π

, уравнение (3.44) переходит в следующее:

= 1 ,

то есть оси

эллипса

совпадают

осями

координат,

а при

a1 = a2

эллипс вырождается в окружность.

В случае

= πn ,

n = 1,2,3...

из (3.44) следует

= 0 .

Это уравнение двух прямых.

Состояние поляризации волны удобно характеризовать множителем поляризации

P =	Ex	=	a1	ei .	(3.45)
	Ey		a2

При комплексном P волна имеет эллиптическую или круговую поляризацию, при действительном P - линейную.

3.3. Пространственная структура волнового поля

Отражение плоской волны от границы раздела сред


Пусть на плоскую			границу		раздела из	полупространства
( z > 0 ) падает		плоская		монохроматическая			волна	с
волновым	числом		k .	За	границей	раздела ( z = 0 )

распространяется прошедшая через границу волна с волновым числом k1 . Решение двумерного уравнения Гельмгольца

	∂ 2 ϕ	+ ∂ 2 ϕ −		1	∂ 2 ϕ	= 0
	∂x2
		∂z 2		c ∂t 2
для полупространства	z > 0		представляется в виде суммы
падающей и отраженной волны
ϕ2 = ϕ0 [exp(− ikz cos θ) + V exp(ikz cos θ)]exp(ikx sin θ) ,								(3.46.1)
где V , θ - коэффициент отражения волны и угол падения.
Преломленная волна в нижней среде						z < 0 запишется в
виде
ϕ1 = ϕ0W exp[ik1 (x sin θ1 − zcos θ1 )] ,								(3.46.2)
где θ1 ,W - угол преломления			и коэффициент				прохождения
(коэффициент прозрачности			границы). Волновое					поле
однородно вдоль оси	x ,	поэтому на				границе	выполняется

условие постоянства горизонтальной составляющей волнового вектора

ksin θ = k1sin θ1 .

(3.46.3)

Рис.3.1

Это выражение носит название закона преломления Снелля.

В силу этого падающая	и	прошедшая	волна	имеют
одинаковые зависимости	от	координаты	k : exp[ikx x] .
Cледовательно, задача о наклонном падении волны на				границу

может рассматриваться как задача о нормальном (вертикальном)

отражении	и прохождении	волны		с	волновым			числом
kz = k cos θ	(см.3.46.1–3.46.2).	Из		условия		непрерывности
волнового поля на границе
	ϕ1 = ϕ2		z =0				(3.46.4)
	ϕ1 = ϕ2		z =0				(3.46.4)
получим связь между коэффициентами прохождения и
отражения:	1 + V = W ,
	1 + V = W ,				∂ϕ1	= ∂ϕ2	(3.46.5)
а при условии непрерывности производной								z=0
а при условии непрерывности производной								z=0
					∂z	∂z
					∂z	∂z

можно получить их выражения в зависимости от нормальной составляющей волнового числа:

V =	kz	− k1z	;W =	2kz	.	(3.46.6)
		+ k1z
	kz			kz + k1z

Вместо (3.46.6) на практике часто используются зависимости коэффициентов отражения и прохождения от характеристических импедансов сред:

V =

Z1 - Z2

;W =

2Z1

(3.46.7)

Z1 + Z2

Для ЭМ волн

Z =

, а

для

акустических - Z = ρc .

Поле в волноводах и резонаторах

Пусть волна

распространяется

плоскости

x, z между

двумя

идеально

отражающими

границами

( z = 0 , z = a ).

Решение волнового уравнения

¶2j

+ ¶2j

¶2j = 0

(3.47.1)

¶x2

¶z2

c ¶t 2

должно удовлетворять граничным условиям

j(x,0, t ) = 0 ;

j(x, a, t ) = 0

(3.47.2)

Ищем

решение

виде j = j(z)ei(ωt −kx ) . Для

удовлетворения

(3.47.2)

получим

j(z) = j0 sin kz z ;

kz a = pn ,

где n = 1,2,3.... .

То есть

поле в

волноводе

имеет поперечную структуру в виде

стоячей волны с волновым числом

, когда между стенками

волновода "укладывается" целое число полуволн. Подставив

решение в (3.47.1) получим	характеристическое уравнение
- k 2 - kz2			+ w2		c	2 = 0			(3.47.3)
					c
из которого следует

k =		w2	c	2 - p2 n2			a	2	(3.47.4)
			c				a

Если электромагнитная волна распространяется в волноводе без затухания, то волновое число k - действительная величина, а подкоренное выражение в (3.47.4) не должно быть

отрицательным. Отсюда вытекает условие w ³ pc n . a

То есть в волноводе не может распространяться волна с

частотой меньшей некоторой частоты w0	( n = 1 ),	которая
называется граничной частотой волновода.	Этой	частоте
66

соответствует максимальная длина волны λ0 = 2a . С другой

стороны, общее решение волнового уравнения (3.47.1) представляет собой сумму решений

				πnz
	ϕ = ∑ϕn		sin		exp[i(ωt − kn x)],	(3.47.5)
	ϕ = ∑ϕn		sin		exp[i(ωt − kn x)],	(3.47.5)
	n			a
где k 2	= ω2	− π2 n2			.
n	c2			a 2

Выражение (3.47.5) называется разложением волнового поля по нормальным волнам, а каждый член ряда часто называют модами волновода. Предположим теперь, что волновое поле однородно вдоль оси x , то есть волны в этом направлении не

распространяются, в (3.47.1) ∂2 ϕ ∂ 2 x = 0 . Тогда рассмотренная

задача определяет одномерный закрытый резонатор, а (3.47.4) при k = 0 переходит в условие для собственных частот резонатора:

ωn = πcn . a

(3.47.6)

Лучевое приближение в теории волн

Если скорость и направление распространения волны в среде зависят от координат, то среда называется неоднородной и пространственное поле монохроматической волны описывается решениями уравнения Гельмгольца:

ϕ + k 2 (R)ϕ = 0 R = (x, y, z) .

(3.48.1)

Будем искать его решение в виде
ϕ(R) = A(R)exp(ik0ψ(R)),	(3.48.2)

где A(R), ψ(R) - действительные амплитуда и фаза волны.

Лучевое или геометрооптическое приближение предполагает, что в каждой точке траектории луча волна может считаться плоской, другими словами, амплитуда на расстояниях порядка длины волны может считаться постоянной

grad A k0 A ,

а фаза является линейной функцией координат:

y(R) = mR = mx x + my y + mz z;				grad y = const .
Математически эти условия могут быть записаны
следующим образом:
	grad k	k;	grad y		k0y .	(3.48.3)

Будем искать решение уравнения (3.48.1) в виде ряда по

степеням

j(R) =

(R)+

A (R)+

(R)+ ... exp[ik

y(R)]. (3.48.4)

Подставляя (3.48.4) в	(3.48.1) и		приравнивая			к нулю
коэффициенты при различных степенях				1	, получим систему

				k0
уравнений:
k 2 (R)		- (Ñy)2		= 0;
			A0
	2
	k0
A0	y + 2ÑA0Ñy = 0;					(3.48.5)
A0 y + 2ÑA1Ñy = i A0 .

Первое и второе уравнение (3.48.5) в лучевом приближении определяют соответственно фазу и амплитуду волны и называются уравнением эйконала и уравнением переноса.

Рассмотрим распространение волн в слоисто-неоднородной среде. Пусть волна распространяется в плоскости x, z и ее скорость неоднородна по одной координате - в уравнении (3.48.1) k = k (z) . В этом случае уравнение эйконала (3.48.5) принимает вид

¶y 2		¶y	2	k 2 (z)
	+		=		.	(3.48.6)
	+		=		.	(3.48.6)
¶x		¶z		k02
	68

Пусть неоднородная среда занимает полупространство

z > 0 (

n = 1 при z < 0 )

и в

нее

попадает

волна

под

углом θ0

при

z = 0 (рис.3.2).

Поскольку среда однородна в направлении

x ,

то вдоль всего

луча выполняется соотношение

∂ψ = P = const = n sin θ = sin θ ,

∂x

а уравнение (3.48.6) может быть переписано в виде

∂ψ 2

= n

(z)− sin

θ0

= n

(z)cos

θ(z) . (3.48.7)

∂z

Таким образом, для плоско - слоистой среды уравнение эйконала выражает закон преломления Снелля (3.46.3).

Рис.3.2

Запишем его окончательное решение для фазы волны в виде

z
ψ = x sin θ0 ± ∫ n2 − sin 2 θ0 dz .	(3.48.8)

Подставив это решение во второе уравнение системы (3.48.5), получим решение уравнения переноса для амплитуды волны вдоль луча:

A = [A			]= A (n2 − sin 2 θ				)− 1
A = [A		n cos θ	]= A (n2 − sin 2 θ			0	)− 1	4 .	(3.48.9)
0				0		0
Знак перед корнем в	(3.48.8)			определяется				направлением
распространения волны		вдоль луча			(в положительном или
отрицательном направлении оси				z ).	Окончательно,				с учетом
	69

(3.48.8–3.48.9) поле в слоистой среде в лучевом приближении может быть записано в виде

ϕ(x, z) = [exp(ik0 x sin θ0 )]f (z),

где f (z) является приближенным решением уравнения f ′′ + k 2 (z) f = 0.

f (z) =	A0		exp ± ik0	z		dz .(3.48.10)
				∫	n2 − sin 2 θ0
		1
	(n2 − sin 2 θ0 ) 4			o

Решение (3.48.10) известно также как приближенное решение

Вентцеля, Крамерса, Бриллюэна		(ВКБ-приближение), которое
в большинстве	практических	приложений	достаточно

хорошо описывает волновое поле в слоисто-неоднородной среде.

3.4. Теория излучения

Рассматривая структуру волнового поля в среде, до сих пор мы решали однородное волновое уравнение, то есть мы изучали распространение волн, не задаваясь вопросом об их источниках. Теперь мы рассмотрим решения волнового уравнения в том случае, когда в некоторой области пространства расположены источники волн.

Сначала проанализируем излучение электромагнитных волн. Пусть источник электромагнитного поля излучает гармонические волны на частоте ω , тогда поле в среде представляется в виде:

E = E(r)e±iωt .
H = H (r)e± iωt .	(3.49)

Для того чтобы в среде возникли электромагнитные волны, в

некоторой области	должны существовать	“ сторонние”
электрические заряды	с плотностью ρc (r) ,	и эти заряды

должны двигаться под действием сторонних сил, создавая токи с

плотностью	jc (r) . Величины	ρc , jc необходимо учесть в
уравнениях	Максвелла (3.1–3.4),	которые с учетом (3.49)
приобретают вид:
	70

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 197 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>