О геометрической интерпретации

Если , где - касательная плоскость, то точка имеет координаты

. Подставим координаты точки в уравнение (8):

Итак, - приращение аппликаты точки касательной плоскости. Из рисунка следует, что

и (у нас на чертеже).

О формуле Тейлора для функции двух переменных

Пусть ( непрерывные частные производные в некоторой области , содержащей точку , до порядка включительно).

Пусть и такие, что

.

[ такое число , что имеет место формула Тейлора n-ого порядка

где

1) ] в (1) . Тогда

(2) - формула Тейлора первого порядка, причем

2) ] в (1) :

- формула Тейлора третьего порядка,

Идея доказательства формулы (1):

1) уравнение :

2)

3)

4)

5) у нас

6) Получаем формулу (1), если подставить (4) и (5) в (3).

Экстремум функции двух переменных

Пусть в некоторой области

def 1.

если , что

или

def 2. , если , что

или

В (1) и (2) говорят о строгом или ( в случае ≤ или ≥ слово опускают).

def 3. Точки и точки - точки экстремума функции .

сохраняет знак в : в ).

Необходимые условия существования экстремума

Теорема.

] 1) ( в точке и ее окрестности ), то есть ,

2) ,

3) .

[

Доказательство. Фиксируем , то есть ] для , рассмотрим - функцию одной переменной . Точка - точка экстремума для . По теореме Ферма (так как .

Аналогично доказывается, что (фиксируя ).

Следствие. Если 1) , 2) , то . Из условий 1) – 3) теоремы и → и в силу (3) они равны нулю. [.

Замечание: аналогичные необходимые условия имеют место и для

Пример 1. Исследовать на экстремум .

Решение.

в точке . В

Таким образом, точка .

Пример 2. Исследовать на экстремум .

- стационарная точка →.

- приращение меняет знак в окрестности . Следовательно, вообще не имеет экстремальных точек. Это подчеркивает, что условия необходимые, но недостаточные.

def 4. Пусть . Если

то точка - стационарная точка функции (или точка ).

Достаточные условия существования экстремума в точке функции

Введем обозначения:

и пусть

Теорема.

Пусть 1) и (имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно).

2) точка - стационарная точка()

Тогда а) ] , то ,

причем 1) при – точка,

2) при - точка

Замечание: , ибо ] , [.

] , то экстремума в точке нет и .

] , экстремум в точке может быть, а может и не быть, требуется дополнительное исследование.

Доказательство. Напишем формулу Тейлора второго порядка:

где

Так как точка - стационарная точка, то

и (2) примет вид:

Показывается, что слагаемое не влияет на знак и, следовательно,

где

Исследуем .

Имеем:

а) Пусть в (5) . [ из (5) следует, что

Из (4)и (6)следует

Равенство (7) позволяет утверждать:

1), [ в и ,

2) , [ в и .

б) Пусть в (5) .

Выберем 1) , [

2) ] , а . [

Из (8), (9) с учетом (4) следует вывод: меняет знак в . Следовательно, в экстремума нет.

в) Пусть в (5) . Любопытно, что в этом случае экстремум может быть, а может и не быть, требуется дополнительное исследование.

Рассмотрим этот случай на примерах (что достаточно для доказательства).

1) ] . Имеем:

,

ибо . Далее

С другой стороны,

и .

2) ] .

Далее .

Но меняет знак в . Это означает, что точка не является точкой экстремума функции .

Итак, из рассмотренных примеров следует, что в случае экстремум может быть, а может и не быть.