Инвариантность формы полного дифференциала сложной функции двух переменных
Пусть
причем
Подставим
(2) в (1)→: 
причем 
и 
и
или
Из (3) и (4) следует, что форма полного дифференциала для (1) и (2) неизменна.
Замечание.
Из (4) получим (3), двигаясь в обратном порядке.
О частных производных и дифференциалах высших порядков.
1) Пусть
и 
и 
.
(1)
Если
и 
дифференцируемы в некоторой точке 
,
то 
и 
,
Что обозначают так:
Теорема.
]1)
,
2) 
Аналогично
определяются частные производные
третьего, четвертого и так далее 
-ого
порядка
где
- общее число дифференцирований 
,
-
число дифференцирований по 
,
- число дифференцирований по 
.
Например,
и т.д.
Пример.
Убедиться, что 
,
если 
Решение:
,
.
2) def:
- дифференциал второго порядка функции
Вообще
– дифференциал -ого порядка 
,
при условии, ] 
частные производные соответствующих
порядков.
Имеем:
Используя (1) и (2), аналогично получим:
В общем случае
где
О неявном способе задания функции двух переменных и ее дифференцировании в этом случае
]
def
некоторую функцию 
,
то есть 
.
Например, 
def:
.
Теорема.
] 1) 
,
где 
- открытый шар с центром в точке 
и радиуса 
:
2)
3)
[
в 
определяет 
как однозначную функцию от 
и 
:
так, что
а)
б)
в)
Идея
получения формул (3) из 
Пример.
Пусть 
определяется уравнением
Найти:
.
Решение.]
Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности (в )
Пусть
поверхность 
(в 
)
задана неявно уравнением
Пусть
.
Проведем через точку 
линию 
и заданную параметрически (в 
):
-
Так
как 
,
то (2) обращает (1) в тождество
Из (3) следует, что
Пусть
Тогда (4) перепишем
Вектор
– вектор, касательный к линии 
в точке 
.
Из (6) следует, что он 
.
Через точку 
можно провести множество линий 
,
и для касательных векторов которых 
(6). Отсюда следует, что касательные
прямые к этим линиям лежат в одной
плоскости, которую и называют касательной
плоскостью
(как объединение всех касательных
прямых). Вектор 
- нормальный вектор касательной плоскости,
а прямая, на которой лежит вектор 
- нормаль к поверхности 
в точке 
.
Пусть
причем 
(то есть 
Очевидно,
что уравнение касательной плоскости
имеет вид (в точке 
)
ибо
(
– нормальный вектор касательной
плоскости), а уравнение нормали:
ибо
(
- направляющий вектор нормали).
Пусть
Это
означает, что поверхность 
задана в явном виде:
Тогда
из (6в) →
и уравнения касательной плоскости и
нормали к поверхности в точке 
принимают вид:
