Дифференциальное исчисление функции двух и более переменных Частные производные , их геометрический и физический смыслы
def 1.
называется
производной от 
по
при фиксированном 
или частной производной от 
по
.
def 2.
называется
производной от 
по
при фиксированном 
или частной производной от 
по
.
Из
введенных определений следует, что
нахождение 
и 
сводится к обычному дифференцированию
соответственно по 
(при 
)
и по 
(при 
)
и использованию таблицы производных
функции одной переменной.
Пример.
.
.
а
)
геометрический смысл 
и 
.
Из рисунка 1 →
г
Рис.
1
- угол наклона касательной 
к кривой 
в точке 
.
где
- угол наклона касательной 
к линии
в точке 
.
б)
] 
- температура стержня, как функция данной
точки 
стержня и от времени 
.
Ay
xy xy
0y
-
скорость изменения температуры стержня
в каждой точке стержня при фиксированном
моменте времени 
-
скорость изменения температуры стержня
в фиксированной точке стержня в каждый
момент времени 
.
Понятие дифференцируемости функции . Полный дифференциал .
def.
Функция 
называется дифференцируемой в точке
,
если
где
и 
числа, не зависящие от 
и 
,
а 
и 
→0
при 
и 
→0
(
.
В этом случае будем писать
Итак, (1) ~ (2).
Теорема 1 .
Если
,
то 
.
Доказательство следует из (1):
Теорема 2.
Если
,
то 
в точке 
и 
,
причем 
и 
,
.
Доказательство.
Пусть
и 
при 
и 
(то есть 
).
Положим
в (1) 
:
Аналогично,
при 
из (1):
Из
теоремы 2 следует, что если 
,
[
def.
Выражение вида
называют
полным дифференциалом 
в точке 
и пишут
Замечание.
Утверждения, обратные теоремам 1 и 2, не имеют место в общем случае.
Пример.
]
(часть конической поверхности 
).
Так
как 
при 
и 
→0,
то 
Однако
и 
и предела не 
.
Что и означает 
,
ибо не имеет место равенство (1); то есть
из 
Пример.
]
.
Имеем:
и 
.
далее:
то
есть 
и 
функции 
в точке 
и равны 0.
В силу (1)
Но
.
С другой стороны:
(
Полученное
противоречие 
показывает, что 
,
хотя 
и 
.
Вместе с тем имеет место
Теорема
3
(достаточное условие дифференцируемости
или 
).
]
1) 
и 
для всех точек 
.
2)
и 
.
[
.
Краткое
обоснование. ] 
,
где
.
В
силу непрерывности 
и 
:
[
где
,
а
и 
→0
при 
.
Из
(5) и следует, что 
(определение 1) теорема 3 доказана.
Важное замечание.
В
отличие от функции одной переменной,
(где 
)
для 
мы имеем лишь достаточное условие
дифференцируемости 
.
С учетом (4), (5) перепишем:
В равенстве (6)
В
силу (7) 
:
Из
(8) 
(ибо
и
Соотношение (9) удобно использовать в приближенных вычислениях.
Пример.
Вычислить
при 
Решение:
]
[ в силу (9)
Итак,
.
Напишем (9) в «развернутом» виде
Именно в этом виде мы и использовали формулу (9).
Сложная функция двух переменных и ее дифференцирование
а) def
]
а
Функцию (1), (2) называют сложной функцией (независимой переменной t); x и y – промежуточнаые переменные, зависящие от одной и той же переменной t.
Подставим (2) в (1):
получили функцию одной переменной z= z(t).
Теорема.
]
1) 
2)
и
def: (4) – «полная» производная функция (1),(2).
Доказательство.
Дадим 
приращение 
.
[
и 
.
По
условию 2) 
.
Это означает, что
Разделим
(5) на 
и перейдем к пределу при 
(при этом 
и 
)
- теорема доказана.
Замечание.
]
и 
.
[
и 
,
причем 
.
Пусть в (1)
Причем
,
где 
б) def
Функция
называется
сложной функцией двух переменных: 
и 
-
промежуточные переменные, а 
и 
–
независимые переменные.
Теорема.
]
1) 
и 
2)
[
Для
доказательства (6) фиксируем
в
(1), (5). Повторяя рассуждения при
доказательстве формулы (4), приходим к
формуле (6). Формула (7) получится, если
фиксировать 
в (1) и (5).
в) Пусть
и
г) Если
то
Формула (10) – «полная» производная для (9), (8).
Формула (8а) – «полная» производная для (7а), (8).
Замечание:
Выражение
производная синоним обычной производной
(производной функции одной переменой),
причем для (10)
(по смыслу).