![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
7.5. Поле комплексных чисел
Комплексное число
,
где
- действительная
часть и
- мнимая часть, можно
рассматривать как упорядоченную пару
(а,
b)
двух
действительных чисел, которые являются
элементами множества R.
На множестве комплексных чисел определяются два внутренних закона - сложение и умножение:
;
.
Два числа z1 и z2 равны, если a1 = a2 и b1 = b2.
В
принятых обозначениях i
= (0,1), следовательно, i2
= (0,1)(0,1) = (-1,0)
или i2
= -1. Действия
над комплексными числами в форме
можно выполнять как с действительными
числами, заменяя всякий раз i2
на -1.
Числом,
комплексно-сопряженным
с числом г =
а + bi,
является число
.
Справедливы следующие соотношения:
.
Множество комплексных
чисел составляет коммутативную
группу
относительно сложения. Действительно,
сложение коммутативно и ассоциативно,
нейтральным элементом служит нуль (0,
0), а симметричное числу
есть
.
Относительно
умножения нейтральным элементом является
единица (1, 0), и всякое отличное от нуля
комплексное число
имеет симметричное (обратное)
,
где
- модуль
комплексного числа. Т.к. умножение
дистрибутивно относительно сложения,
то множество комплексных чисел
составляет поле.
Указанное представление называется представлением комплексного числа в алгебраической форме. Комплексное число представляется также в тригонометрической и экспоненциальной форме:
Здесь
- модуль и
- аргумент комплексного числа, определяемый
с точностью до целого кратного 2π, причем
.
Указанное представление удобно для вычисления произведения двух комплексных чисел:
.
Таким образом,
и
.
Геометрически
представление комплексных чисел
представлено на рис. 7.1а. Суммированию
комплексных чисел соответствует
геометрическое сложение векторов на
комплексной плоскости (рис. 7.1б).
Отсюда, в частности, следует
(правило
треугольника).
а) |
б) |
Рис. 7.1. Геометрическое представление комплексных чисел |
7.6. Тело кватернионов
Первой системой
на пути обобщения комплексных чисел
явились кватернионы,
т. е. выражения вида
,
где а, b,
с, d
- действительные
числа, а символы i,
j,
k
также называют кватернионами. Число а
- действительная часть,
а сумма
- векторная
часть
кватерниона.
На множестве
кватернионов определяют два внутренних
закона. Аддитивный закон задается
подобно сложению комплексных чисел,
т.е.
сумма кватернионов
и
есть
.
Очевидно, этот
закон ассоциативный и коммутативный.
Нейтральным элементом относительно
сложения служит
,
а симметричным к элементу q
есть элемент
.
Чтобы множество кватернионов было телом, мультипликативный закон (умножение кватернионов) должен быть ассоциативным и дистрибутивным относительно сложения. Это достигается, с одной стороны, определением мультипликативного закона подобно умножению многочленных алгебраических выражений и, с другой стороны, заданием правила умножения кватернионов, которое в наиболее лаконичной записи имеет вид:
,
где порядок сомножителей в произведении ijk строго фиксирован. Отсюда также следует
.
Действительно, умножая справа на k обе части равенства ijk = -1, имеем ijk2 = -k или ij = k. Умножая полученное уравнение на j справа или на i слева, получаем соответственно -i = kj или -j = ik и т. д.
Геометрически умножение кватернионов легко представить с помощью диаграммы (рис. 7.2): произведение двух кватернионов равно третьему со знаком «+», если поворот от первого сомножителя ко второму осуществляется по часовой стрелке, и со знаком «-», если поворот против часовой стрелки. |
|
Рис.7.2. Умножение кватернионов |
Нетрудно проверить,
что мультипликативный закон (умножение
кватернионов) не коммутативный
(проверяется непосредственным умножением
с учетом изложенных выше правил).
Нейтральным элементом относительно
умножения служит единица, рассматриваемая
как кватернион, у которого
а
= 1 и b
= с = d
= 0. Можно
также показать, что относительно
умножения каждый кватернион
имеет симметричный (обратный) ему
,
где число
называют нормой
кватерниона.
Итак, множество кватернионов, наделенное
описанными выше двумя внутренними
законами композиции, образует тело.
В механике кватернионы применяются при решении задач, связанных с вращениями твердого тела в пространстве.