7.2. Кольцо многочленов

Рассмотрим множество многочленов (полиномов) от переменной х над числовым полем Р, т. е. выражения вида , где п - целое неотрицательное число, а коэффициенты многочлена а₀, а₁,…, а_п - числа из поля Р (действительные или комплексные). Наибольшее число п, при котором а_п  0, называется степенью многочлена и обозначается deg f(x). Два многочлена и тождественно равны, если п = т и . Определим на множестве многочленов два внутренних закона - аддитивный и мультипликативный.

Сумма двух многочленов f(x) + g(x) - это многочлен, у которого коэффициент при каждой степени переменного х равен сумме коэффициентов многочленов f(x) и g(x) при той же степени х. Если степени складываемых многочленов не равны, то многочлен меньшей степени дополняется до старшей степени членами с нуле­выми коэффициентами. При этом

deg [f(x) + g(x)]  max [deg f(x), deg g(x)].

Поскольку операция сложения многочле­нов определяется через сложение его коэффициентов, а сложение чисел ассоциативно и коммутативно, то операция сложения многочле­нов также ассоциативна и коммутативна. Нейтральным элементом отно­сительно сложения является многочлен, все коэффициенты кото­рого нули. Всякий многочлен f(x) обладает симметричным ему, все коэффициенты которого противоположны коэффициентам f(x), т. е. . Следовательно, множество многочленов является абелевой группой относительно сложения.

Произведение двух многочленов определяется как многочлен f(x)g(x), получающийся умножением каждого члена многочлена f(x) на каждый член многочлена g(x), суммированием полученных произведений и приведением подобных членов. Очевидно,

deg [f(x)g(x)] = deg f(x) + deg g(x).

Операция умноже­ния многочленов ассоциативна, коммутативна и дистрибутивна относительно сложения. Нейтральным элементом относительно умножения служит многочлен, у которого а₀ = 1, а все осталь­ные коэффициенты равны нулю. Коммутативность и ассоциативность умножения доказывается аналогично сложению.

Таким образом, множество многочленов есть коммутативное кольцо. Это кольцо также унитарно (кольцо с единицей). Можно показать, что множество многочленов не имеет делителей нуля, следовательно, оно есть кольцо целостности.

Любой многочлен можно единственным образом представить в виде ,

где - частное от деления f(x) на g(x), а - остаток. При этом deg r(x) < deg g(x), а также, если deg f(x)  deg g(x), то

deg q(x) = deg f(x) - deg g(x).

Число λ называют нулем многочлена f(x), если f() = 0. Говорят также, что  есть корень уравнения f(х) = 0. Для того чтобы  был нулем многочленf f(x), необходимо и до­статочно, чтобы этот многочлен делился без остатка на х-. Если многочлен f(x) делится без остатка на (х-)^s, где s - наибольшее натуральное число, для которого такое деление возможно, то  на­зывается нулем кратности s. Нуль кратности единица называется простым.

Основная теорема алгебры утверждает, что многочлен п-й степени с действительными коэффициентами имеет не более п различных действительных нулей. Если многочлен рассматривается над полем комплексных чисел, то с учетом кратности корней их общее число всегда равно п.