5.6. Структура упорядоченных множеств
Приведем несколько определений, относящихся к структуре множества М, упорядоченного некоторым отношением порядка А. Мажорантой (верхней границей) подмножества Q М называют такой элемент т М, что для всех qQ справедливо соотношение qAm. Минорантой (нижней границей) подмножества Q М называют такой элемент п М, что для всех qQ справедливо соотношение nAq.
Если мажоранта т (миноранта п) принадлежит Q, то т называется максимумом (п называется минимумом) множества Q и обозначается max Q (min Q). Максимум, как и минимум, если он существует, единственен; поэтому, когда говорят о минимуме или максимуме множества М, имеют в виду вполне определенный элемент.
Множество Q М может иметь много мажорант и минорант. Если множество мажорант (минорант) имеет минимум (максимум), то этот элемент единственен. Его называют верхней (нижней) гранью или супремумом (инфинумом) множества Q и обозначают sup Q (inf Q).
5.7. Матрицы отношений порядка
Отношению порядка соответствует матрица, у которой главная диагональ заполнена единицами (рефлексивность). Для каждой пары единичных элементов, один из которых расположен в i-м столбце и j-й строке, а второй – в j-м столбце и k-й строке, обязательно существует единичный элемент в i-м столбце и k-й строке (транзитивность). Кроме того, ни одни единичный элемент не имеет симметричного относительно главной диагонали (антисимметричность). Например, матрица отношения «быть делителем» на множестве (1,2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84} имеет вид:
|
1 |
2 |
3 |
4 |
6 |
7 |
12 |
14 |
21 |
28 |
42 |
84 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
12 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
14 |
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
21 |
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
28 |
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
42 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
|
84 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Матрица отношения строгого порядка отличается тем, что все элементы главной диагонали нулевые (антирефлексивность), а квазипорядка — допустимостью симметричных единичных элементов.