Критерий оптимальности опорного плана:

• Если в индексной строке среди оценок оптимальности есть хотя бы одна положительная, то опорный план не является оптимальным.

• Если в индексной строке все оценки оптимальности являются отрицательными числами, то опорный план является оптимальным и единственным.

• Если в индексной строке небазисным переменным отвечают нулевые оценки, а среди оценок оптимальности нет положительных, то опорный план является оптимальным, но не единственным.

В нашем случае опорный план, соответствующий первой симплекс-таблице, оптимальным не является.

Для перехода к следующей симплекс-таблице в М-строке выбирают наибольшую положительную оценку, начиная со столбца “р₁”. В нашем случае – это число 8 в столбце “р₁”.

Столбец, содержащий наибольшую положительную оценку, называется разрешающим. Он показывает, какой вектор следует ввести в базис.

В нашем случае вектор “р₁” следует ввести в базис.

Найдем симплексное отношение оптимальности : элементы столбца “р₀” разделим на положительные элементы разрешающего столбца.

Строка, соответствующая наименьшему отношению оптимальности , называется разрешающей. Она показывает, какой вектор следует вывести из базиса.

В нашем случае . Таким образом, вектор р₇ следует вывести из базиса. Кроме того вектор р₇ можно исключить из рассмотрения, поскольку он является искусственным.

Генеральный элемент – это элемент, который расположен на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки.

В нашем случае это число 7.

Переход к следующей симплекс-таблице осуществляют по правилам:

• все элементы разрешающей строки делят на генеральный элемент;

• разрешающий столбец дополняют нулями;

• если в разрешающей строке есть нули, то соответствующие столбцы переписывают без изменений;

• все другие элементы рассчитывают с помощью метода прямоугольников: если г – генеральный элемент, с – старый элемент, то п – новый элемент находят по формуле:

а		с
г		b

Таким образом, вторая симплекс-таблица имеет вид:

Таблица 2.3.2

Вторая симплексная таблица

Базис	С	р0	– 1	– 4	0	0	0	М	С.О.
			р1	р2	р3	р4	р5	р6
р6	М	4	0	34/7	–1	0	1/7	1	4/(34/7)=14/17
р4	0	5	0	6/7	0	1	1/7	0	5/(6/7)=30/7
р1	– 1	1	1	1/7	0	0	–1/7	0	1/(1/7)=7
z-строка		– 1	0	27/7	0	0	1/7	0
М-строка		4	0	34/7	–1	0	1/7	0

Этой симплексной таблице соответствует опорный план:

x₁ = 1, x₂ = 0, x₃ = 0, х₄ = 5, x₅ = 0, x₆ = 4.

Он не является оптимальным, так как в М-строке есть положительные оценки.

По правилам, описанным выше, перейдем к третьей симплексной таблице:

Таблица 2.3.3

Третья симплексная таблица

Базис	С	р0	– 1	– 4	0	0	0
			р1	р2	р3	р4	р5
р2	– 4	14/17	0	1	–7/34	0	1/34
р4	0	73/17	0	0	3/17	1	2/17	(73/17)/(3/17)=73/3
р1	– 1	15/17	1	0	1/34	0	–5/34	(15/17)/(1/34)=30
z-строка		–71/17	0	0	27/34	0	1/34

В этой таблице отсутствует М-строка, поскольку искусственные векторы выведены из базиса, и в дальнейшем не рассматриваются.

Третьей симплексной таблице соответствует опорный план:

x₁ = 15/17, x₂ = 14/17, x₃ = 0, х₄ = 73/17, x₅ = 0.

Он не является оптимальным, так как в z-строке есть положительные оценки.

Перейдем к четвертой симплексной таблице:

Таблица 2.3.4

Четвертая симплексная таблица

Базис	С	р0	– 1	– 4	0	0	0
			р1	р2	р3	р4	р5
р2	– 4	35/6	0	1	0	7/6	1/6
р3	0	73/3	0	0	1	17/3	2/3
р1	– 1	1/6	1	0	0	–1/6	–1/6
z-строка		–47/2	0	0	0	–9/2	–1/2

Этой симплекс-таблице соответствует опорный план:

x₁ = 1/6, x₂ = 35/6, x₃ = 73/3, х₄ = 0, x₅ = 0.

Он является оптимальным и единственным, так как в z-строке нет положительных оценок. Значение целевой функции min (– z) = – 47/2, значит,

max z = – min (– z) = 47/2.

Замечание.

• Если в симплексной таблице есть две одинаковые положительные наибольшие оценки оптимальности, то выбирают любую.

• Если в разрешающем столбце симплексной таблицы нет положительных чисел, то целевая функция является неограниченной на области допустимых решений ЗЛП, т.е. ЗЛП не имеет решений.

• В последней симплексной таблице нет необходимости заполнять все клетки, а можно только заполнить z-строку и столбец р₀.