7. Элементы теории игр

1. Экономические задачи, приводящие к игровым моделям. Общие понятия теории игр. Чистые, смешанные, оптимальные стратегии. Седловая точка.

2. Решение игр в смешанных стратегиях. Связь матричных игр с задачами линейного программирования.

Литература: 3 (гл. 13), 4 (гл. 12).

Введение

Любые методы системного анализа, также как и методы исследования операций и теории управления, опираются на математическое описание тех или иных фактов, явлений, процессов, т.е. на математическое моделирование. Употребляя слово “модель” будем иметь в виду некоторое описание, отражающее именно те особенности изучаемого процесса, которые интересуют исследователя. Точность, качество такого описания определяются, прежде всего, соответствием модели тем требованиям, которые предъявляются исследованию, соответствием получаемых с помощью модели результатов изучаемому процессу.

Построение математических моделей – это важный этап исследования и проектирования любой системы. От качества модели зависит судьба всего последующего анализа. Модель должна достаточно правильно отражать явления и быть удобной для использования.

Математическое программирование изучает задачи условной оптимизации, то есть задачи на экстремум функции многих переменных с ограничениями на область изменения этих переменных. Функцию, экстремальное значение которой нужно найти в условиях экономических возможностей, называют целевой, показателем эффективности или критерием оптимальности.

Методы решения оптимизационных задач зависят как от вида функции многих переменных (целевой функции), так и вида ограничений на область изменения этих переменных.

Для экономической системы целевая функция – это функция эффективности ее функционирования и развития, а также функция затрат.

Перед математическим программированием стоят две проблемы:

• моделирование экономических задач;

• поиск оптимального решения (плана) на основе построенной математической модели.

Классификация задач математического программирования

Условно задачи математического программирования, которые заключаются в исследовании функции на экстремум, на переменные которой наложены определенные ограничения, можно разделить на задачи:

• детерминированного и стохастического программирования (в зависимости от вероятностного характера исходных параметров модели);

• динамического и статического программирования (в зависимости от учета фактора времени);

• линейного и нелинейного программирования (в зависимости от вида целевой функции и ограничений).

Задачи, в которых критерий оптимальности не является случайной функцией параметров, а параметры также не являются случайными величинами, называются детерминированными. Например, если в экономико-математической модели величины заданы своими математическими ожиданиями, то такая задача является детерминированной.

Задачи, в которых критерий оптимальности является случайной функцией параметров, т.е. включают неопределенность, называются стохастическими. Задачи, в которых нахождение оптимального решения можно рассматривать как мгновенный акт, называются статическими.

Задачи, в которых нахождение оптимального решения экономико-математической модели можно рассматривать не как застывшую задачу, а в динамике, находя решение на несколько периодов времени, называются динамическими. В динамическом программировании рассматриваются методы, позволяющие путем многошаговой оптимизации получить общий оптимум. Например, если субъект в ходе принятия решения изменяет свое информационное состояние, получая или теряя информацию, то в этом случае решение целесообразно принимать поэтапно (многошаговое решение). Например, если рассматривается план развития предприятия до 2010 года, должны быть обоснованы значения соответствующих микроэкономических показателей не только на 2010 год, а и на все промежуточные годы, т.е. учтена динамика развития хозяйственной деятельности данного предприятия.

Задачи, в которых критерий оптимальности (целевая функция) и система ограничений являются линейными, называются задачами линейного программирования (ЗЛП). В противном случае возникает задача нелинейного программирования. Важным преимуществом задачи линейного программирования является то, что для их решения разработан универсальный метод – симплекс-метод. Для некоторых классов ЗЛП разработаны более эффективные методы решения. Например, распределительные задачи можно решить симплекс-методом, однако более эффективным для их решения является метод потенциалов.

Линейные модели зачастую являются неадекватными природе моделируемого объекта или процесса, поэтому приходится строить нелинейные модели. Решать нелинейные задачи более сложно, чем линейные, поскольку нет универсальных методов решения таких задач. Для некоторых видов нелинейных задач разработаны численные специальные эффективные методы решения, такие как метод наискорейшего спуска, метод дробления шага. Однако, на практике чаще используют линейные экономико-математические модели. Часто нелинейные зависимости аппроксимируют линейными. Модели линейного программирования находят широкое применение при решении плановых задач в различных сферах хозяйственной деятельности.

Задачи, в которых критерий оптимальности является суммой функций, каждая из которых зависит только от одной переменной, называются задачами сепарабельного программирования.

Задачи, в которых на переменные наложено условие целочисленности, называются задачами целочисленного программирования. Многие экономические задачи характеризуются тем, что объемы управляемых ресурсов могут принимать только целые значения, такие как автомобили, бытовая техника и другие объекты.

Задачи, в которых критерий оптимальности является выпуклой функцией, называются задачами выпуклого программирования. Для таких задач существует ряд эффективных и обоснованных методов их решения. ЗЛП являются частным случаем задач выпуклого программирования.

Задачи, в которых критерий оптимальности является квадратичной функцией и система ограничений линейная, называются задачами квадратичного программирования.

Рассматривают так же отдельные классы задачи дробно-линейного программирования, когда система ограничений являются линейной, а целевая функция – дробно-линейная; задачи параметрического программирования, когда система ограничений являются линейной, а целевая функция содержит параметр.

Особый класс представляют задачи теории игр, которые широко применяются в рыночной экономике. Среди них наиболее изучены матричные парные игры.