2.10. Параметрическое программирование

Экономические задачи, в которых в линейную целевую функцию или правую часть системы ограничений входит параметр, изучает параметрическое программирование. Например, если эффективность или до­ход зависят от сезонных колебаний, тогда критерий оптимальности должен эту зависимость отображать. Если продукция, которая изготовлена пред­приятием, должна некоторое время сохраняться, то ее стоимость состоит из двух частей: постоянной – это стоимость продукции на момент изго­товления – и переменной части, которая зависит от срока хранения, причем эта зависимость, как правило, линейная. Целевая функция зада­чи оптимального планирования такого производства будет иметь ко­эффициенты, которые линейно зависят от параметра t (от времени).

Метод решения задач параметрического программирования состоит в следующем:

• полагают, что параметр t равен меньшему значению из промежутка , т.е. t = а, тогда все коэффициенты целевой функ­ции будут постоянными; решают задачу линейного программирования для этого случая, т.е. находят вершину, в которой достигнут экстремум;

• определяют все значения параметра t, для которых оптимальное ре­шение сохраняется, то есть для которых экстремальное значение дос­тигается в одной и той же точке. Найденные значения исключают из интервала изменения параметра ; для оставшегося интервала вновь решают задачу до тех пор, пока не будут найде­ны решения для всех значений t.

Алгоритм решения задачи параметрического программирования

1. Целевую функцию устремить к минимуму; систему ограничений привести к каноническому виду, вводя дополнительные перемен­ные; ввести искусственные переменные, если нужно.

2. Присвоить параметру t наименьшее значение из отрезка . Соответственно с этим конкретизируют целевую функцию.

3. Строят первую симплексную таблицу в соответствии с правилами.

4. Дополнить первую симплекс-таблицу двумя строками: р –строкой и q-строкой.

• В р-строке нужно записать с противоположным знаком коэффициенты целевой функции, не связанные с параметром t.

• В q-строке нужно записать с противоположным знаком коэффициенты целевой функции, связанные с параметром t.

5. Проводить нужно расчеты всех элементов таблицы в соответствии с правила­ми симплексного метода, проверяя оптимальность на основе М-строки, а потом z-строки.

6. Выписать оптимальное решение, если критерий эффективности выполнился После этого z-строка во внимание не берется.

7. Находят для параметра t частичный интервал постоянства решения, рассматривая такие случаи ( – начало интервала, – конец интервала):

а) все , то частичный интер­вал постоянства решения определяется по формулам (2.10.1):

, (2.10.1)

б) все , то частичный интер­вал постоянства решения определяется по формулам (2.10.2):

, (2.10.2)

в) принимают как положительные, так и отрицательные значе­ния – в этом случае частичный интервал постоянства решения определяется по формулам (2.10.3):

для , для .

(2.10.3)

8. Если полученный интервал не охватывает отрезок , то необхо­димо продолжить поиск и найти решения для других значений параметра t.

9. Выбрать в качестве разрешающего столбца тот столбец, в котором получено значение . Затем выполнить сим­плекс-преобразование и определить новый частичный интервал для нового решения. Эту процедуру повторяют до тех пор, пока бу­дет пройден весь отрезок .

Пример 2.10.1. Решить задачу параметрического программирования

(2.10.4)

, (2.10.5)

Решение. Приведем задачу к каноническому виду

,

где х₁, х₂ – основные переменные, х₃, х₄, х₅ – дополнительные переменные; х₆ – искусственная переменная.

Присвоим параметру t наименьшее значение из интервала , и конкретизируем целевую функцию: при t = 0 имеем .

Первая симплексная таблица с дополнительными строками будет иметь вид:

Таблица 2.10.1

Первая симплексная таблица

Б	С		1	-2	0	0	0	М
			р1	р2	р3	р4	р5	р6	С.0.
р3	0	28	4	7	1	0	0	0	28/7=4
р4	0	30	5	6	0	1	0	0	30/6=5
р6	М	2	2	1	0	0	-1	1	2/1=2
z - строка		0	-1	2	0	0	0	0
М-строка		2	2	1	0	0	0	0
р-строка		0	-1	2	0	0	0	0
q-строка		0	1	-1	0	0	0	0

Для решения, соответствующего этой симплексной таблице, критерий оптимальности не выполняется. По правилам перехода к следующей симплексной таблице, получим вторую симплексную таблицу.

Таблица 2.10.2

Вторая симплексная таблица

Б	С		1	-2	0	0	0
			р1	р2	р3	р4	р5	С.0.
р3	0	14	-10	0	1	0	7	14/7=2
р4	0	18	7	0	0	1	6	18/6=3
р2	-2	2	-2	1	0	0	-1	-
z - строка		-4	-5	0	0	0	2
р-строка		-4	-5	0	0	0	2
q-строка		2	3	0	0	0	1

Для решения, соответствующего этой симплексной таблице, критерий оптимальности не выполняется. По правилам перехода к следующей симплексной таблице, получим третью симплексную таблицу.

Таблица 2.10.3

Третья симплексная таблица

Б	С		1	-2	0	0	0
			р1	р2	р3	р4	р5	С.О.
р5	0	2	-10/7	0	1/7	0	1
р4	0	6	11/7	0	-6	1	0	6/(11/7)=42/11
р2	-2	4	4/7	1	1/7	0	0	4/(4/7)=7
z - строка		-8	-15/7	0	-2/7	0	0
р-строка		-8	-15/7	0	-2/7	0	0
q-строка		4	11/7	0	1/7	0	0

Третьей симплексной таблице соответствует решение

,

которое является оптимальным. Оно будет сохраняться для определенных значений параметра t. Поскольку все q_i положительны, то имеем случай а) пункта 7 и по формуле (2.10.1):

Значит, точка А с координатами обеспечивает минимум целевой функции для параметра t. Этот интервал не покрывает отрезок , поэтому решение задачи следует продолжить. В качестве разрешающего столбца нужно выбрать столбец р₁, поскольку в нем получено значение . Все расчеты выполняем в соответствии с правилами симплексного метода.

Таблица 2.10.4

Четвертая симплексная таблица

Б	С		1	-2	0	0	0
			р1	р2	р3	р4	р5
р5	0	82/77	0	0	-7/11	10/11	1
р1	1	42/11	1	0	-6/11	7/11	0
р2	-2	20/11	0	1	5/11	-4/11	0
z - строка		2/11	0	0	-16/11	15/11	0
р-строка		2/11	0	0	-16/11	15/11	0
q-строка		-2	0	0	1	-1	0

Четвертой симплексной таблице соответствует решение

,

которое будет обеспечивать оптимальность целевой функции для значений параметра t, которые находятся на основе случай в) пункта 7 по формуле (2.10.3), поскольку q_i как положительны так и отрицательны:

, .

Значит, точка В с координатами обеспечивает минимум целевой функции для параметра t. Этот интервал также не покрывает отрезок , поэтому решение задачи следует продолжить. В качестве разрешающего столбца нужно выбрать столбец р₃, поскольку в нем получено значение . Все расчеты выполняем в соответствии с правилами симплексного метода.

Таблица 2.10.5

Пятая симплексная таблица

Б	С		1	-2	0	0	0
			р1	р2	р3	р4	р5
р5	0	278/77	0	7/5	0	2/5	1
р1	1	6	1	6/5	0	1/5	0
р3	0	4	0	11/5	1	-4/5	0
z - строка		6	0	16/5	0	1/5	0
р-строка		6	0	16/5	0	1/5	0
q-строка		-6	0	-11/5	0	-1/5	0

Пятой симплексной таблице соответствует решение

,

которое будет обеспечивать оптимальность целевой функции для значений параметра t, которые находятся на основе случая б) пункта 7 по формуле (2.10.2), поскольку все q_i отрицательны:

, .

Значит, точка С с координатами обеспечивает минимум целевой функции для параметра t. Этот интервал покрыл отрезок , поэтому решение задачи следует закончить.

Таким образом, если t, то целевая функция достигнет минимума при ; если t, то целевая функция достигнет минимума при ; если t, то целевая функция достигнет минимума при .

Дадим геометрическую интерпретацию полученного решения задачи.

Область допустимых ре­шений, соответствующая системе ограничений (2.9.1), изображена на рисунке 5. Она представляет собой пятиугольник АВСDЕ.

Рисунок 5 – Область допустимых ре­шений

Вектор-градиет направления возрастания будет зависеть от значения параметра t.

1. При t = 0 имеем , т.е. , при t = имеем , т.е. , т.е. если t, то целевая функция z достигнет минимума в точке А (0; 4).

2. При t = имеем , т.е. , т.е. если t, то целевая функция z достигнет минимума в точке В.

3. При t = 6 имеем , т.е. , т.е. если t, то целевая функция z достигнет минимума в точке С (6; 0).