2.7. Задача о назначениях

Необходимо для выполнения работ распределить т исполнителей А_i, i = 1,2,…, n по n рабочим местам B_j, j = 1,2,…,n. Рассмотрим ситуацию при условии, что каждый исполнитель А_i может работать только на одном рабочем месте B_j, причем стоимость работы или время ожидания определяется матрицей С=. В данной задаче переменные интерпретируются как назначение соответствующего исполнителя на определенное рабочее место.

Математическая модель задачи о назначениях следующая:

(2.7.1)

(2.7.2)

(2.7.3)

где , если i-й исполнитель может занять j-е рабочее место,

, если i-й исполнитель не может занять j-е рабочее место.

Если коэффициент с_ij представляет собой время ожидания (например, время необходимое для того, чтобы сменить профессию, или затраты на переподготовку), то следует делать такие назначения, при которых целевая функция, выражающая общее время или затраты, была бы минимальной.

Если коэффициент с_ij представляет стоимость работы (например, профессиональный уровень, или эффективность работы данного исполнителя), то следует делать такие назначения, при которых целевая функция, выражающая общую стоимость работы, была бы максимальной.

Задачу о назначения можно сформулировать как транспортную, в которой роли исполнителей А_i аналогичны ролям пунктов отправления А_i, рабочие места B_j, – пунктам назначения B_j. Поскольку каждый исполнитель должен работать только на одном рабочем месте, то запасы a_i и заявки b_j соответственно пунктов отправления А_i и пунктов назначения B_j полагаются единичными a_i =1, b_j =1. Стоимости работ с_ij определяют тарифы перевозок и переменные х_ij являются аналогами перевозок х_ij, для которых нужно минимизировать затраты .

Для решения задачи о назначениях с установкой на минимум может быть использован метод потенциалов.

Задача о назначения называется закрытой (сбалансированной), если число исполнителей т равно числу рабочих мест п. В случае, если число исполнителей т не равно числу рабочих мест п, то задача о назначениях сводится к открытой транспортной задаче.

Замечание. Для построения начального опорного плана в задаче о назначениях целесообразно использовать метод Фогеля.

Пример 2.7.1. Распределить 5 исполнителей на 5 рабочих мест. Матрица времени ожидания представлена в таблице 2.7.1.

Таблица 2.7.1.

места исполнители	B1	B2	B3	B4	B5
А1	10	13	9	11	2
А2	9	12	8	3	4
А3	7	5	4	5	8
А4	4	6	4	7	9
А5	8	1	3	2	6

Для построения начального опорного плана в задаче о назначениях воспользуемся методом Фогеля.