Вопрос 17.Правило Крамера.

Теорема. Пусть ∆-определитель матрицы А(∆=|A|), ∆j-определитель матрицы, получаемой из матрицы А с заменой j-го столбца столбцом из свободных членов. Тогда при ∆≠0 система имеет единственное решение, опр-е по формулам

xj= (8), j=

Формулами Крамера наз-ся формула (8)

Доказательство:

A^-1=*, где -присоединенная матрица.

Т.к. элементы есть алгебраические дополнения элементов матрицы A^I транспонированной к A, то запишем равенство Х=А-¹В (7) в развернутом виде

()= ()*()

Т.к. |A|= ∆ после умножения матриц получим ()= ()

Отсюда следует , что любого j=1,n

x_j= (b₁A_ij+b₂A_2j+…+b_nA_nj)

b₁A_ij+b₂A_2j+…+b_nA_nj =∆j, где j –определитель матрицы, полученной из матрицы A с заменой j-го столбца столбцом из свободных членов

Xj=.

Вопрос 21. Деление отрезка в данном отношении.

Пусть на плоскости задан М₁М_2.

И пусть М-любая точка этого отрезка , не совпадающая с концами

(4)

λ- отношение в котором точка М делит отрезок М1М2.

Задача о делении отрезка в данном отношении состоит в том, что по данному отношению λ и данным координатам М1 и М2 находятся координаты точки М

Теорема. Если точка М от (х;у) делит отрезок М1М2 в отношении λ, то координаты этой точки

, (5)

Доказательство:

Опустим перпендикуляр из точки М1, М и М2. Обозначим через Р1, Р, Р2-основания этих перпендикуляров. На основе теории о пропорц. отрез. прямой заключается между параллельными прямыми:

|P1P|=|X-X2|, |P-P2|=|X2-X|

Т.к. значение под модулем одинакового знака, то можно записать

=> => x=

Получить 2-ю из (5) аналогично, спроектировать координаты точки на ось у.

Если М-середина отрезка М1М2, то λ=1 и по формулам (5) координаты отрезка находятся формулой (5).

Вопрос 22. Полярная система координат.

Состоит их точки О(полюс) и исходящего из него луча ОЕ(полярный курс). Пусть М-производная точка плоскости, -расстояние точки М от О, ϕ-угол, на коэф. которого нужно поверн. полярн. ось.

Установим связь между полярными координатами точки М(;у) и (х;у).

При этом будем предполагать, что начало координат нах-ся в полюсе, а полож. Ось абсцисс совпадает с полярной осью.

Пусть М имеет прямоугольн. коорд. ху М(ху) и поляр. коорд. М(; ϕ)

Из чертежа:

ормулы (1) выражают прямоугол. Коорд. Через полярн.

Или выраж. пол. коорд. через тр-гольн. форм. 1

=√x₂²+y₂² tg ϕ= (7)

Заметим, что tg ϕ определяет два значения половины угла ϕ, т.к. ϕ меняется от 0 до ∏. Из этих 2-х значений … правило, которое выполняет равенство (1)

Вопрос 23. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Уравнение F(x;y)=0, называется уравнение линейной L, заданной в системе координат. Если ему удовл-т координаты изображаемой точки, лежащей на линии L и не удовлетворяют координаты точки не лежащей на этой линии. Линия L может опред. ур-м вида F( ϕ)=0. ϕ- полярные координаты точки.

1=

Пусть прямая пересекает ось ОУ. В точке В с координатами 0 и b B(0;b) и образует с осью ОХ угол : 0<<∏/2

Возьмем на прямой произвольную точку М с координатами (х;у), тогда tg-угол наклона прямой tg (1)

Введем угловой коэффициент k= tg

k= => y=kx+b (2)

Справедливо при условии ∏/2<<∏ ур-е прямой с углов. коэффициентом.

Рассмотрим частные случаи :

1.b=0 => y=kx-проход ч/з начало координат и образующей

При k= tg>0-острый угол с ОХ

При k<0- тупой угол

y=x-биссектриса 1-го и 3-го коорд. углов

y=-x-биссектриса 2-го и 4-го координатных углов

2.Если =∏/2, то прямая перпендикулярна оси ОХ и k= tg-не сущ-т, т.е. вертикальная прямая не имеет углового коэффициента.

3.Если =0, то k=tg0=0. Отсюда y=b-прямая параллельная оси OX.

Если прямая отсекает от OX, то ее уравнение будет x=a. А уравнение OY=X=0