1.4 Ознаки збіжності знакозмінних рядів.

Знакозмінним називається ряд у якому існує безліч як додатніх, так і від’ємних членів. Можна при дослідженні на збіжність таких рядів використовувати наступну процедуру:

1. перейти від цього ряду до ряду з модулів;

2. з допомогою якоїсь ознаки збіжності знакододатніх рядів дослідити його на збіжність;

3. якщо він виявиться збіжним, то за відомою теоремою і вихідний ряд теж буде збіжним;

4. якщо ж ряд з модулів виявиться розбіжним, то ми поки що не маємо ніяких ознак, крім означення і критерію Коші, тому є потреба їх отримати.

В цьому параграфі ми якраз і дамо деякі ознаки збіжності таких рядів. Для доведення потрібних нам теорем, і не лише для цього, нам буде потрібне наступне твердження.

Теорема1. (Перетворення Абеля). Нехай маємо і дві послідовності дійсних чисел, і та . Тоді справедлива така рівність

.

▲

Розглянемо

.А далі все зрозуміло.

▼

Тепер вже ми можемо сформулювати і довести згадані вище ознаки.

Теорема2. (Перша ознака Абеля-Діріхле). Нехай нам дано ряд

(1)

Якщо:

1. послідовність () – обмежена;

2. – монотонно прямує до нуля,

то ряд (1) – збіжний.

▲

Нехай для конкретності – монотонно зростаюча послідовність, тоді оскільки, послідовність – обмежена, то . З умови 2) випливає, що

(2)

Звідси, застосувавши перетворення Абеля одержуємо і :

, а це за критерієм Коші означає збіжність ряду (1).

▼

Теорема3. (Друга ознака Абеля-Діріхле). Нехай ми знову маємо ряд (1). Якщо:

1. послідовність () – збіжна;

2. – монотонна і обмежена послідовність,

то ряд (1) – збіжний.

▲

Із перетворення Абеля матимемо, що . Зрозуміло, що оскільки і збіжні, нехай до чисел і , то два останні доданки правої частини останньої рівності прямуватимуть кожен до , тому цю рівність можна переписати так

(3)

Оскільки – збіжна, то вона обмежена, отже,

. (4)

З того, що останні два доданки справа в (3) при прямують до нуля, матимемо:

, (5)

. (6)

Оскільки, – збіжна, то за критерієм Коші матимемо, що для вказаного вище , (не зменшуючи загальності його можна вважати тим самим що і в (5) і в (6)):

. (7)

Оцінимо модуль лівої частини рівності (3), для . Одержимо . А це за критерієм Коші означає збіжність ряду (1).

▼

Приклад. Дослідити на збіжність ряд . Покладемо , . Тоді .Оскільки, відомо, що

,

то , . А отже, оскільки і – монотонна спадна послідовність, то за першою ознакою Абеля-Діріхле наш ряд є збіжним.

Розглянемо далі один частковий випадок знакозмінних рядів – це, так званні, знакопочережні ряди. Нехай , тоді ряд

(8)

називається знакопочережним рядом.

Ряд (8) називається рядом Лейбніца, якщо:

1. 

2. .

Зрозуміло, що за першою ознакою Абеля-Діріхле справедливе таке твердження.

Теорема4. (Лейбніц). Ряд Лейбніца – збіжний..

Ряд є рядом Лейбніца, тому він збіжний. Виявляється, що для ряду Лейбніца справедливе наступне.

Зрозуміло, що (парні часткові суми ряду Лейбніца) є монотонно неспадною послідовністю. Справді . Оскільки ця послідовність має своєю границею число , що є сумою ряду Лейбніца, то з того, що вона монотонно неспадна зразу одержуємо

,. (9)

Розглянемо тепер послідовність . Звідси видно, що послідовність – монотонно не зростаюча, і оскільки, вона ще й збіжна до тієї ж границі , то

,. (10)

З (9) і(10) маємо, що , звідси

. (11)

Так само одержимо

. (12)

З (11) і (12) ми маємо, що справедлива нерівність

. (13)

З неї зокрема випливає, що похибка від заміни суми ряду Лейбніца його -тою частковою сумою не перевищує модуля -го члена цього ряду. Отже, щоб знайти суму ряду Лейбніца з певною точністю , слід знайти найменше при якому виконується нерівність . Якщо це буде, наприклад, , то і буде давати наближене значення суми ряду Лейбніца з точністю .