1.3 Абсолютно та умовно збіжні ряди

Означення. Ряд

(1)

називається абсолютно збіжним, якщо збіжним є ряд

. (2)

Якщо ряд (1) є збіжним, а ряд (2) – розбіжний, то ряд (1) називається умовно збіжним.

Очевидно, що множина абсолютно збіжних рядів є непорожньою (їй належать всі збіжні знакододатні ряди). Множина умовно збіжних рядів теж є непорожньою. Їй, наприклад, належить такий ряд: .

З’ясуємо чи може абсолютно збіжний ряд бути розбіжним?

Теорема1. Із збіжності ряду (2) випливає збіжність ряду (1).

▲

Із збіжності ряду (2) за критерієм Коші матимемо, що . Звідси із нерівності , зразу за тим же критерієм одержуємо потрібний нам результат.

▼

Тільки що доведена теорема дозволяє, в окремих випадках зводити проблему збіжності довільних рядів до проблеми збіжності знакододатніх рядів. Нашою найближчою метою є вивчення деяких властивостей абсолютно та умовно збіжних рядів. Розпочнемо з такої властивості.

Теорема2.(Ріман). Якщо ряд (1) умовно збіжний ряд, то для члени ряду (1) можна переставити місцями так, що утворений ряд матиме суму що дорівнює (причому може бути і чи ).

▲

Нехай – послідовність часткових сум ряду (1) і . Нехай – всі невід’ємні члени ряду (1) взяті в порядку зустрічі з ними в цьому ряді, – модулі від’ємних членів ряду (1), теж взяті в такому ж порядку. Розглянемо ряди

,

.

Нехай і - послідовності часткових сум рядів () і (). Візьмемо , де і – кількість відповідно додатніх і від’ємних членів ряду (1), які ввійшли в , зрозуміло, що . Якщо - - та часткова сума ряду , то . Звідси одержуємо,

, (3)

. (4)

З того, що , а , з (3) і (4) випливає, що ряди () і () – розбіжні. Позначимо через , таке натуральне число, щоб виконувались нерівності, і , тобто – найменше натуральне число таке, щоб сума вперше перевищила . Аналогічно через , позначимо таке натуральне число, щоб виконувались нерівності, і .

Через , таке натуральне число, щоб виконувались нерівності, і . Продовжуючи цей процес і так далі, ми отримаємо ряд, членами якого є члени ряду (1). Часткові суми цього ряду позначатимемо через . З’ясуємо, яку суму має цей ряд. Для матимемо , аналогічно можна одержати, що . Оскільки, при збільшені прямує до , а – це члени збіжного ряду (1), то з необхідної умови збіжності ряду і останньої нерівності отримуємо, що часткова сума ряду прямує до . Аналогічно переконуємося, що і часткова сума ряду , теж прямує до . Ми показали, що дві підпослідовності послідовності часткових сум утвореного ряду прямують до . Якщо ж взяти , то як випливає із побудови, буде лежати між двома частковими сумами із вказаних вище двох підпослідовностей. А , отже, за теоремою „про два міліціонери”, теж прямуватиме до .Таким чином, ми так преставили члени ряду (1), що утворений ряд збігається до числа .

Випадок коли розглядається аналогічно.

▼

Покажемо як можна одержати перестановку, яка буде розбіжним рядом. Для цього візьмемо два будь-які числа і ,, і позначимо через , таке найменше натуральне число, щоб виконувалась нерівність , через , таке найменше натуральне число, щоб виконувалась нерівність , через , таке найменше натуральне число, щоб виконувалась нерівність , через , таке найменше натуральне число, щоб виконувалась нерівність . Продовжуючи цей процес і так далі ми одержимо ряд із членів ряду (1), такий , що із послідовності його часткових сум, ми виділимо дві підпослідовності: всі члени першої підпослідовності будуть меншими від , другої більшими від . Отже, послідовність часткових сум нашої перестановки має по принаймі дві часткові границі, а цього досить, щоб ця перестановка утворювала розбіжний ряд.

В зв’язку зі щойно розв’язаною проблемою виникає питання, чи не буде мати місце аналогічне твердження для абсолютно збіжного ряду. Негативну відповідь на це питання дає наступна

Теорема3 (Про перестановку членів абсолютно збіжного ряду). Якщо ряд (1) абсолютно збіжний ряд, то будь-який ряд, одержаний з нього шляхом перестановки його членів збіжний, теж абсолютно і до тієї ж суми.

▲

З умови теореми маємо, що .Нехай

(5)

– деяка перестановка ряду (1). Нам потрібно довести:

1. ряд (5) – збіжний до числа , яке є сумою ряду (1);

2. ряд (5) – збіжний абсолютно.

Із збіжності рядів (1) і (2) маємо, що справедливі такі нерівності:

(6)

(7)

Позначимо через таке натуральне число, щоб у часткову суму ряду (5) ввійшли всі члени ряду (1) від номера 1 до . Тоді вони ввійдуть і в для . Розглянемо далі різницю () ( тут якесь натуральне число), а це означає, що і перша частина теореми доведена. Щодо другої частини, то вона одразу випливає з першої. Справді, розглянемо ряд , причому оскільки члени цього ряду невід’ємні числа, то він збіжний абсолютно. Тоді, за щойно доведеним і ряд – теж збіжний, а отже, ряд (3) є абсолютно збіжним.

▼