Практическое занятие 4

Поверхности второго порядка

1

Установите тип поверхности, заданной уравнением

Решение:

Перенесем константу в правую часть уравнения и разделим обе части уравнения на число 4. Получим

Это уравнение задает двуполостный гиперболоид вращения с осью OY.

Дву-полостный гиперболоид

2

Установите тип поверхности, заданной уравнением

Решение:

Преобразуем уравнение к виду

являющемуся канонической формой уравнения параболоида вращения с осью OZ, вершина которого находится в точке (0;0;2), а выпуклость обращена вверх.

Параболоид

3

Установите тип указанной поверхности и постройте ее:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

1) параболоид вращения;

2) ось oz;

3) две пересекаю-щиеся плоскости ;

4) две плоскости , параллельные плоскости zoy;

5) круговой цилиндр с образующей, параллельной оси oy.

4

Составьте уравнения проекций на координатные плоскости сечения эллиптического параболоида

плоскостью

Решение:

Сечение параболоида плоскостью задается системой уравнений

Этой системе соответствует некоторая линия в пространстве. Чтобы найти проекцию этой линии на координатную плоскость OXY, следует исключить из этой системы переменную z. В результате получаем Аналогично находятся остальные проекции.

На плоскость OXY: ; На плоскость OXZ: ; На плоскость OYZ: .

5

Составьте уравнение поверхности, образованной вращением кривой

вокруг оси OX.

Решение:

Сечение искомой поверхности плоскостью перпендикулярной оси вращения, есть окружность с центром в точке радиусом Уравнение этой окружности Для произвольного получаем уравнение поверхности вращения

6

Найдите общие точки поверхности и прямой

Решение:

Выделим полные квадраты переменных в уравнении поверхности и увидим,

что она представляет собой сферу .

Перейдем к параметрическим уравнениям прямой

Подстановка этих значений переменных в уравнение поверхности приводит к квадратному уравнению для t c отрицательным дискриминантом. Следовательно, действительных значений t не существует, и поверхность не имеет общих точек с прямой, которая проходит вне сферы.

Нет

7

Найдите общие точки поверхности и плоскости .

Решение:

Общие точки поверхностей удовлетворяют системе

Приравнивая значения 2z , выраженные из этих уравнений, получим, что . Выделение полных квадратов переменных приводит к уравнению эллипса , который является проекцией линии пересечения эллиптического параболоида и плоскости на координатную плоскость . Параметрические уравнения эллипса , . Подставляя эти выражения в уравнение плоскости, получаем . Линия – эллипс.

Эллипс

8

Составьте уравнение цилиндра, образующие которого параллельны вектору а направляющая задана уравнениями

Решение:

Множество точек искомой поверхности образовано точками, лежащими на прямых, проходящих через некоторую точку направляющей параллельно вектору Составим канонические уравнения этих прямых: Здесь M(x;y;z) - произвольная точка прямой, а N(X;Y;1) – фиксированная точка направляющей, через которую проходит прямая, называемая образующей. Отсюда

Подставим эти выражения в уравнение , которому удовлетворяют координаты точек направляющей и получим искомое уравнение цилиндрической поверхности:

9

Составьте уравнение конуса с вершиной в точке S(0;0;5) и направляющей

Решение:

Множество точек искомой поверхности образовано точками, лежащими на прямых, проходящих через некоторую точку направляющей и точку S. Составим канонические уравнения этих прямых Здесь M(x;y;z) - произвольная точка прямой, а N(X;Y;0) – фиксированная точка направляющей, через которую проходит прямая, называемая образующей. Отсюда Подставим эти выражения в уравнение , которому удовлетворяют координаты точек направляющей, и получим искомое уравнение конической поверхности:

10

Составьте уравнение сферы с центром в точке (3,-5,-2), если плоскость касается сферы.

Решение:

Расстояние от центра сферы до касательной плоскости равно радиусу сферы:

Уравнение сферы: .

11

Составьте уравнение сферы, проходящей через точки , , , центр которой лежит на плоскости .

Решение:

Запишем уравнение сферы в виде и подставим в него координаты точек; кроме того, учтем, что центр сферы лежит на плоскости:

Раскрывая скобки, получаем

Вычитая из третьего уравнения второе и из второго первое, для координат центра сферы получаем равносильную систему

откуда и . Уравнение сферы .

12

Методом сечений исследуйте поверхность, заданную уравнением

.

Решение:

Перепишем уравнение поверхности в виде

и рассмотрим сечения поверхности плоскостями . В сечении получаются окружности с центром на оси и радиусом . Это позволяет заключить, что поверхность является поверхностью вращения с осью , и точки поверхности существуют при любых значениях . Рассмотрим осевое сечение плоскостью (или ):

.

Приводя к каноническому виду, имеем

– уравнение гиперболы, – действительная ось, – мнимая ось.

Итак, поверхность может быть получена вращением гиперболы относительно ее мнимой оси, т.е. поверхность – однополостный гиперболоид вращения, – ось симметрии, – плоскость симметрии.

Однопо-лостный гиперболоид вращения