Практическое занятие 2

АНАЛИТИЧЕСКая ГЕОМЕТРИя В ПРОСТРАНСТВЕ

1. Плоскость

№

Задание

Ответ

1

Составьте уравнение плоскости Р, проходящей через точку параллельно плоскости .

Решение:

В качестве нормального вектора искомой плоскости Р

можно выбрать нормальный вектор плоскости и уравнение плоскости Р может быть записано в виде уравнения плоскости, проходящей через точку с нормальным вектором : . После приведения к виду общего уравнения плоскости это уравнение принимает вид: .

2

Составьте уравнение плоскости Р, проходящей через точку перпендикулярно прямой L:

решение:

В качестве нормального вектора искомой плоскости выбираем направляющий вектор прямой L, имеющий компоненты из канонических уравнений данной прямой L. Уравнение плоскости, проходящей через точку с нормальным вектором , имеет вид: .

3

Составьте уравнение плоскости Р, проходящей через точку перпендикулярно двум плоскостям

и .

РешЕНИЕ:

По условию .

Нормальный вектор искомой плоскости должен быть перпендикулярен нормальным векторам плоскостей и.

В качестве такого вектора можно выбрать их векторное произведение:

Уравнение искомой плоскости имеет вид:

.

4

Составьте уравнение плоскости Р , проходящей через три точки

Решение:

Если M(x,y,z) - текущая координата плоскости, то уравнение плоскости получается как следствие компланарности векторов , то есть равенства нулю их смешанного произведения:

5

Найдите отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях.

Решение:

Приведем уравнение плоскости к виду уравнения плоскости "в отрезках": отсекаемые плоскостью на осях ox, oy, oz соответственно.

-4; 3; 0,5

6

Составьте уравнение плоскости Р, параллельной вектору и отсекающей на координатных осях отрезки . Решение: Уравнение искомой плоскости "в отрезках" имеет вид: Приведение его к общему виду дает плоскость с нормальным вектором Из условия перпендикулярности векторов : , и уравнение плоскости принимает вид:

.

7

Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку и отсекающей от осей координат положительные и равные отрезки.

Решение:

Уравнение плоскости, отсекающей от осей координат положительные и равные отрезки а, имеет вид: Так как плоскость проходит через точку, и уравнение

плоскости принимает вид: .

8

Найдите угол между плоскостями и .

Решение:

Один из двух смежных углов (острый) между плоскостями равен углу между их нормальными векторами и находится из их скалярного произведения:

9

Найдите уравнение плоскости, проходящей через точки и перпендикулярно к плоскости

Решение 1:

Составим систему уравнений. Первое уравнение представляет уравнение плоскости, проходящей через точку М с нормальным вектором . Второе – условие прохождения этой плоскости через точку N. Третье – условие перпендикулярности этой плоскости и заданной плоскости с нормальным вектором . Получили однородную систему уравнений для определения А, В, С:

Условие существования решения системы приводит к уравнению искомой плоскости:

РЕШЕНИЕ 2.

Вектор нормали ищем в виде , где . Тогда . Получаем уравнение плоскости

.

10

Приведите уравнение плоскости к нормальному виду и объясните смысл коэффициентов при неизвестных.

Решение:

В нормальном уравнении плоскости

коэффициенты представляют собой направляющие косинусы единичного вектора нормали к этой плоскости, р – расстояние от начала координат до плоскости. Общее уравнение плоскости с нормальным вектором приводится к нормальному виду путем умножения на нормирующий множитель знак которого противоположен знаку D.

В данной задаче и уравнение плоскости принимает следующий нормальный вид: .

11

Найдите расстояние от заданной точки до плоскости .

Решение:

Расстояние от точки до плоскости с нормальным вектором равняется .

Здесь , то есть начало координат и точка находятся по одну сторону от плоскости. Искомое расстояние равно

3

12

Составьте уравнение плоскости, которая делит пополам двугранный угол, образованный двумя пересекающимися плоскостями: и

Решение:

Уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую их пересечения:

.

Выберем из них две, имеющие нормальные векторы, параллельные .

1) , откуда ,

положив , получаем уравнение первой плоскости в виде ;

2) , откуда ,

положив , получаем уравнение первой плоскости в виде .

2. Прямая

13

Прямая L задана общими уравнениями Напишите канонические уравнения этой прямой и её уравнения в виде проекций на координатные плоскости.

Решение: Решим задачу двумя способами.

1-й способ.

Найдем произвольную точку, лежащую на прямой, предположив, что

x = 0, тогда из системы, задающей прямую двумя уравнениями плоскости, найдем, что y = 2 и z = 2.

Точка . В качестве направляющего вектора прямой можно выбрать вектор , так как он будет перпендикулярен как , так и : и канонические уравнения прямой принимают вид: и могут быть записаны в виде проекций на координатные плоскости следующим образом:

2-й способ.

Из общих уравнений прямой L , исключая y и x в системе, получим уравнения прямой в проекциях на плоскости xoz и yoz:

Из этих уравнений и канонические уравнения прямой можно записать в виде

14

Докажите параллельность прямых

Решение:

Направляющий вектор прямой имеет вид: . Направляющий вектор прямой может быть выбран в виде векторного произведения нормальных векторов двух пересекающихся плоскостей

Прямые и параллельны, так как компоненты их направляющих векторов пропорциональны: .

15

Определите угол между прямыми

Решение:

Угол между направляющими векторами прямых и определяется из значения их скалярного произведения:

16

Найдите уравнения прямой, проходящей через точку и пересекающей ось ox под прямым углом.

Решение:

Уравнение искомой прямой можно записать в виде уравнения прямой, проходящей через две точки и :

. По условию

Вторую точку находим из условия, что прямая перпендикулярна оси ox и пересекает ее, то есть и уравнение искомой прямой принимает вид:

17

Составьте параметрические уравнения прямой L, проходящей через точку параллельно прямой

Решение:

В качестве направляющего вектора искомой прямой L можно взять направляющий вектор прямой : , так как прямые L и параллельны по условию; канонические уравнения прямой могут быть приведены к параметрическому виду, если приравнять входящие в них отношения значению параметра t:

18

Напишите канонические уравнения прямой L, проходящей через точку параллельно прямой

Решение:

Прямая L, параллельная прямой , будет перпендикулярна нормальным векторам плоскостей, образующих прямую , то есть

и канонические уравнения прямой L принимают вид:

19

Определите, при каком значении прямые пересекаются.

Решение 1:

По условию прямая проходит через точку , а прямая - через точку .

Условием пересечения двух прямых будет условие компланарности векторов , которое можно записать виде:

то есть откуда

Решение 2:

Решим систему . Получаем . Подставим в последнее уравнение с l: .

3

20

Составьте уравнение прямой, проходящей через точку , пересекающей прямую и перпендикулярную прямой

Решение 1:

Уравнение искомой прямой . Она лежит в одной плоскости с прямой , проходящей через точку , то есть и перпендикулярна прямой с направляющим вектором . Условие перпендикулярности прямых заключается в равенстве Решим систему для определения Выражая через найдем при таким образом, и уравнение искомой прямой L имеет вид:

Решение 2:

Рассмотрим пучок прямых: . Из условия перпендикулярности имеем . Условие пересечения даёт систему: или

. Из системы следует . Таким образом, в качестве направляющего вектора можно взять вектор .

L:

3. Прямая и плоскость

21

Найдите точку пересечения прямой и плоскости

Решение:

Для определения координат точки пересечения запишем уравнения прямой L в параметрическом виде: . Подставляя эти выражения в уравнение плоскости Р, получим уравнение для определения значения параметра t, соответствующего точке их пересечения:

следовательно, координаты искомой точки

(2,-3,6)

22

Составьте уравнение плоскости Р, проходящей через данную прямую L и точку , если прямая задана параметрическими уравнениями.

Решение 1:

Перейдем к каноническим уравнениям прямой . Чтобы записать уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую L, и выбрать из него искомую плоскость, проходящую через точку , составим уравнение прямой L в виде ее проекций на плоскости xoy и xoz. Из канонических уравнений получим

Уравнение пучка плоскостей через прямую L имеет вид:

Так как плоскость проходит через точку , подставим ее координаты в уравнение пучка плоскостей и найдем значение , определяющее искомую плоскость , и уравнение плоскости Р будет иметь вид:

Решение 2:

Найдем на прямой две точки, например, и , откуда и .

Из уравнения плоскости, проходящей через три точки ,,, получаем

23

Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно прямой

Решение 1:

Запишем уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую :

Выберем из всех плоскостей с нормальными векторами ту, которая параллельна направляющему вектору прямой , равному . Нормальный вектор плоскости , перпендикулярен и удовлетворяет условию :

. Из этого уравнения находим значение , при котором уравнение искомой плоскости принимает вид:

.

Решение 2:

Найдем нормальный вектор искомой плоскости как векторное произведение направляющих векторов прямых.

;

;

.

Найдем произвольную точку на Положим , из

найдем . Уравнение плоскости, проходящей через точку с нормальным вектором имеет вид:

24

Составьте уравнение плоскости Р, проходящей через прямую перпендикулярно к плоскости

Решение:

Уравнение прямой L в проекциях:

Уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую L, имеет вид:

с общим нормальным вектором , зависящим от параметра.

Условие перпендикулярности искомой плоскости и плоскости с имеет вид: и дает значение , при котором получается уравнение плоскости Р в виде

25

Найдите уравнения проекции прямой на плоскость

Решение:

Запишем уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую L, уравнение которой в проекциях имеет вид:

Плоскость из этого пучка, проектирующая эту прямую L на плоскость Р, определится из условия перпендикулярности этих плоскостей с нормальными векторами откуда

При этом значении получаем уравнение проектирующей плоскости , а проекцией прямой L на плоскость Р будет линия пересечения двух плоскостей

или в каноническом виде:

26

Найдите проекцию точки на плоскость

Решение 1:

Проекцией точки M на плоскость Р будет точка пересечения прямой L, проходящей через точку М перпендикулярно к плоскости Р. Уравнение перпендикуляра через точку М будет иметь вид:

и координаты проекции найдем, подставив

в уравнение плоскости Р:

Решение 2:

Координаты точки проекции можно найти непосредственно решая систему .

(1,4,-7)

27

Найдите

1) проекцию точки на прямую ,

2) расстояние от точки до этой прямой,

3) Запишите уравнение перпендикуляра из точки

на прямую ,

4) Найдите точку N , симметричную точке относительно прямой

Решение:

1) Из условия и уравнение плоскости Р, перпендикулярной к прямой L и проходящей через точку M, имеет вид:

координаты точки пересечения

этой плоскости с прямой находим из уравнения . Координаты точки пересечения прямой и плоскости дадут координаты проекции точки М на плоскость ,

2)

Способ 1. Искомое расстояние равно расстоянию между точкой и ее проекцией на прямую – точкой :

,

Способ 2. Расстояние от точки до прямой можно найти по формуле: .

3) Уравнение перпендикуляра из точки на прямую напишем как уравнение прямой, проходящей через две точки и : ,

,

4) Для того чтобы найти координаты точки N, заметим, что точка О делит отрезок MN пополам и

28

Найдите

1) расстояние от точки до плоскости ,

2) найдите координаты точки N, симметричной точке относительно плоскости

Решение:

1) Способ 1.Уравнение прямой, проходящей через точку , перпендикулярно к плоскости Р с , можно записать в виде

Проекцию точки М на плоскость Р находим как точку пересечения прямой и плоскости откуда

Искомое расстояние ;

Способ 2. Расстояние находим по известной формуле

(см. № 11) . Координаты искомой точки удовлетворяют системе , из которой получаем

. В результате имеем две точки: и . Вторая точка не подходит, так как отстоит от плоскости на .

2) аналогично и