Практическое занятие 1

Векторная алгебра

1. Векторы, базисы, координаты

№

Задание

Ответ

1

В треугольнике разложите биссектрису по базису векторов и .

РЕШЕНИЕ:

Пусть , ,

лежит на стороне .

, где

.

Воспользуемся свойством биссектрисы треугольника и тем, что . Отсюда следует, что

.

2

Докажите, что точка пересечения медиан треугольника делит каждую медиану в отношении считая от вершины.

РЕШЕНИЕ:

Пусть – середина стороны , – середина стороны . Отложим на медиане расстояние от вершины и поставим точку . Тогда

.

Отложим от вершины по медиане расстояние и поставим точку . Найдем координаты вектора в базисе векторов и .

Но это координаты вектора . Таким образом, точка и точка совпадают, это точка пересечения медиан, и она делит медианы и в отношении считая от вершины.

3

В треугольнике через обозначена точка пересечения медиан. Найдите сумму векторов .

РЕШЕНИЕ:

Обозначим ,, .

Из рисунка по свойству медиан получаем, что .

4

Точки и – середины сторон и четырехугольника . Докажите, что . Выведите теорему о средней линии трапеции.

РЕШЕНИЕ:

, , , , .

Если - трапеция, стороны и параллельны, тогда

- свойство средней линии трапеции.

5

На стороне и диагонали параллелограмма взяты соответственно точки и так, что и . Докажите, что точки , и лежат на одной прямой и определить отношение отрезков и.

Доказательство:

Пусть , .Тогда .

.

.

Отсюда , , то есть точки , , лежат на одной прямой.

6

Задан тетраэдр . В базисе из ребер , и найдите координаты вектора , где – точка пересечения медиан основания .

РЕШЕНИЕ:

Воспользуемся правилом треугольника:.

– середина ребра ; точка находится на расстоянии длины медианы от вершины .

.

Подставим в :

, =.

7

В пространстве заданы треугольники и ; и – точки пересечения медиан этих треугольников соответственно. Разложите вектор по базису векторов , , .

РЕШЕНИЕ:

Пусть – середина стороны , – середина стороны .

.

Найдем:

; ; ;; ; ;

.

После последовательных подстановок

то есть =.

2. Декартов прямоугольный базис. Направляющие косинусы и координаты

8

В трапеции с основаниями и известны векторы , , . Найдите сумму координат вектора , где и - середины сторон и .

РЕШЕНИЕ:

, . .

3

9

Даны точки ,,. Найдите сумму координат точки , если

РЕШЕНИЕ:

, , .

.

Сумма координат равна (- 6).

- 6

10

Дан модуль вектора и углы , и , которые он составляет с координатными осями , и соответственно. Вычислите проекции вектора на координатные оси.

РЕШЕНИЕ:

;

;

.

=

11

Даны векторы и . Вычислите направляющие косинусы вектора .

РЕШЕНИЕ:

.

.

; ; .

,

,

12

Может ли вектор составлять с координатными осями следующие углы: , , ?

РЕШЕНИЕ:

Для направляющих косинусов выполняется равенство . Проверим его справедливость.

равенство выполняется.

да

13

Даны точки , , . Найдите длину медианы треугольника .

РЕШЕНИЕ:

Координаты точки (середины ) , , .

7

14

Коллинеарны ли векторы и , построенные на векторах и , если , , , ?

РЕШЕНИЕ 1:

Пропорциональность компонент не выполняется, векторы неколлинеарны.

РЕШЕНИЕ 2

Векторы : и неколлинеарны, т.е. образуют базис. Векторы и неколлинеарны, так как их координаты в этом базисе не пропорциональны:

.

нет

3. Скалярное произведение векторов

15

Найдите а) и б) , если , , .

РЕШЕНИЕ:

а)

а) ,

б)

16

Найдите , если , .

РЕШЕНИЕ:

17

Найдите косинус угла между векторами и , если , , .

РЕШЕНИЕ:

- 1

18

Вычислите синус угла, образованного векторами и .

РЕШЕНИЕ:

Найдем косинус нужного угла:

Так как угол между векторами ,

19

Покажите, что сумма квадратов медиан треугольника относится к сумме квадратов его сторон, как 3:4.

РЕШЕНИЕ:

Пусть , . Тогда . Находим медианы треугольника:

,

.

Осталось найти требуемое отношение:

20

Покажите, что четырехугольник ромб, если , , , . Найдите угол при вершине ромба.

РЕШЕНИЕ:

; ;

;

; ;

; .

и – ромб.,

.

21

Докажите, что вектор перпендикулярен вектору .

РЕШЕНИЕ:

.

22

Докажите: а) теорему косинусов; б) теорему Пифагора.

Доказательство:

а) Рассмотрим треугольник , построенный на векторах и .

Пусть третья сторона . Тогда ,

, ч.т.д.

б) При получаем теорему Пифагора.

23

Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

РЕШЕНИЕ:

Пусть и – стороны ромба.

и - его диагонали.

так как для ромба , и диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

4. Векторное произведение векторов

24

Найдите а) и б) , если , , .

Решение:

а) ;

б)

так как ,

а) ,

б)

25

Найдите , если , .

Решение:

.

26

Найдите вектор , если , , .

Решение:

, ,

.

27

Упростите выражение: , где - базисные векторы прямоугольной декартовой системы координат.

Решение:

Для справедливо:

, так как - левая тройка, , так как - левая тройка.

Тогда ,

,

, и искомая сумма равна

.

28

Векторы , , , связаны соотношением , . Докажите, что векторы и коллинеарны.

Доказательство:

Найдем

значит, эти векторы коллинеарны.

29

Вычислите площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если , , , , .

Решение:

=< так как , , >=

.

30

В треугольнике с вершинами , , найдите высоту .

Решение:

Площадь

.

Найдем , .

.

.

5

31

Найдите расстояние от точки с координатами до прямой, проходящей через точки и .

Решение:

Построим треугольник и опустим высоту из вершины на основание (или его продолжение).

Тогда искомое расстояние равно , и задача свелась к предыдущей.

5

32

Докажите, что в треугольнике с биссектрисой выполняется соотношение .

Доказательство:

1) ;

2) .

Отсюда следует, что , что и требовалось доказать.

5. Смешанное произведение векторов

33

Докажите, что при любых векторы , , компланарны.

Доказательство:

Вычислим , это означает, что векторы компланарны.

34

Докажите тождество .

Доказательство:

.

35

Даны векторы , , .

а) вычислите объем параллелепипеда, построенного на этих векторах;

б) вычислите объем тетраэдра, построенного на этих векторах;

в) определите, будут ли векторы , , компланарны;

г) определите, образует ли тройка , , базис в трехмерном пространстве;

д) определите, будет ли тройка правой.

Решение:

а). .

б). .

в). Так как , векторы некомпланарны.

г). Образуют базис в трехмерном пространстве.

д). , значит, тройка – левая.

7,

,

нет,

да,

левая

36

В тетраэдре с вершинами в точках , , , вычислите высоту .

Решение:

, , .

;

;

37

Найдите расстояние от плоскости, проходящей через точки , , до точки .

Решение:

Построим тетраэдр и найдем его высоту , как в предыдущей задаче.

38

Длины базисных векторов в пространстве равны соответственно , а углы между ними: . Вычислите объем параллелепипеда, построенного на векторах, имеющих в этом базисе координаты , , .

Решение:

Осталось найти . Выберем декартову систему координат так, чтобы ось Ох была направлена по лежал в плоскости , тогда , .

Найдем . Предположим, что он имеет декартовые координаты . Воспользуемся известными углами между векторами , , и их длинами:

; ; . С другой стороны,

,

.

Так как . Тогда

, .

39

Дайте алгебраическое доказательство того, что смешанное произведение трех компланарных векторов равно нулю.

Доказательство:

Даны три компланарных вектора , , . Докажем, что .

Если коллинеарен .

Если неколлинеарен , то они образуют базис на плоскости, поэтому в силу компланарности , , имеем . Найдем

.

40

Докажите, что четыре точки , , , , лежат в одной плоскости.

Доказательство:

Точки лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы компланарны, то есть . Вычислим

, что и требовалось доказать.

41

Дан параллелограмм . Докажите, что его площадь в два раза меньше площади параллелограмма , противоположные стороны которого соответственно параллельны и равны диагоналям и исходного параллелограмма.

Доказательство:

Если , то. . Диагонали параллелограмма равны и .

.