Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Пусть даны две точки В качестве направляющего вектора прямой выберем вектор , и уравнение прямой, проходящей через две данные точки примет вид:

ПРИМЕР: Составьте уравнение прямой, проходящей через две точки

.

Угол между двумя прямыми

Если и направляющие векторы прямых и , то положительное значение косинуса угла между этими векторами

позволяет найти угол между прямыми.

Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых

Прямые будут параллельны, если их направляющие векторы параллельны, то есть

Прямые будут перпендикулярны, если их направляющие векторы перпендикулярны, то есть .

ПРИМЕР: Определите угол между двумя прямыми:

Находим направляющие векторы данных прямых. Нормальные векторы плоскостей, задающих первую прямую, , и вторую прямую,

Направляющие векторы первой и второй прямых:

,

,

4. Прямая и плоскость Точка пересечения прямой и плоскости

Даны уравнения прямой и плоскости:

.

Координаты точки пересечения прямой и плоскости должны одновременно удовлетворять этим уравнениям.

1) Выражая две переменных через третью из уравнений прямой и подставляя их в уравнение плоскости, получим уравнение для одной переменной и найдем точку пересечения прямой и плоскости.

2) Можно перейти к параметрическим уравнениям прямой:

,

тогда подстановка переменных в уравнение плоскости P, позволяет найти значение параметра для координат точки пересечения прямой и плоскости.

3) Если прямая задана общими уравнениями, точка пересечения может быть найдена как решение системы из трех уравнений.

Уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую

Пусть прямая задана линией пересечения двух плоскостей:

Возьмем любые отличные от нуля числа и составим равенство

Это равенство определяет плоскость, которая проходит через ту же прямую, так как каждая тройка чисел (x, y, z) удовлетворяет этим двум равенствам. Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую, называется пучком плоскостей. Если положить , то уравнение

определяет все плоскости пучка, кроме второй из плоскостей, задающих прямую.

Угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью,

( – угол между вектором нормали к плоскости и направляющим вектором прямой):

.

Условия параллельности и перпендикулярности

прямой и

плоскости

Прямая L перпендикулярна плоскости P, если направляющий вектор прямой коллинеарен нормальному вектору плоскости, то есть

.

Прямая L параллельна плоскости P, если направляющий вектор прямой перпендикулярен нормальному вектору плоскости, то есть

III. Аналитическая геометрия на плоскости

1. Простейшие задачи на плоскости

Расстояние между двумя точками

Даны две точки M₁(x₁,y₁) и M₂(x₂,y₂). Расстояние между ними равно длине вектора и может быть вычислено по формуле

.

Деление отрезка в данном отношении

Точка M(x,y) делит отрезок M₁M₂ в отношении ,

если .

Координаты точки М находятся по формулам :

Координаты середины отрезка С получаются при М₁М=ММ₂, :

Площадь треугольника

Пусть треугольник задан координатами своих вершин:

М₁(x₁,y₁), M₂(x₂,y₂), M₃(x₃,y₃).