Расстояние от точки до плоскости

Отклонением точки от плоскости называется число, равное длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость, взятое со знаком «-» или «+» в зависимости от того, по одну или по разные стороны от плоскости находится начало координат и точка.

П

усть . Спроектируем точку на нормаль к плоскости Отклонение

то есть, чтобы найти отклонение какой-либо точки от плоскости, нужно в левую часть нормального уравнения этой плоскости подставить координаты точки.

Если плоскость задана общим уравнением, то отклонение точки от плоскости вычисляется по формуле

. Отклонение положительно, если точка и начало координат лежат по разные стороны от плоскости, и отрицательно, если по одну сторону.

Расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле:

ПРИМЕР: Найдите расстояние точки M(4, 3, 1) от плоскости .

откуда

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки

Пусть даны три точки . Введем текущую точку плоскости и рассмотрим три вектора: , , .

Точка лежит на плоскости в том и только в том случае, если эти векторы компланарны. Условие компланарности трех векторов определяет плоскость, проходящую через три данные точки:

Угол между двумя плоскостями

Пусть плоскости заданы уравнениями:

Нормальные векторы этих плоскостей задаются координатами:

.

Один из двугранных углов между плоскостями равен острому углу между их нормальными векторами и определяется из равенства

ПРИМЕР: Найдите угол между плоскостями

Нормальные векторы плоскостей ,.

.

Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей

Плоскости параллельны, если их нормальные векторы коллинеарны, то есть их координаты пропорциональны:

Плоскости перпендикулярны, если их нормальные векторы перпендикулярны, : .

ПРИМЕР: Составьте уравнение плоскости, которая проходит через точку

M(7, -2, 3) параллельно плоскости y – 3z + 5 = 0.

Нормальные векторы данной и искомой плоскостей и . Из условия параллельности плоскостей:

, получим A = 0, B = 1, C = - 3 и уравнение искомой плоскости

.

ПРИМЕР: Составьте уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям: x – y + 2z – 5 = 0,

2x + y – 3z + 1 = 0.

Нормальные векторы данных плоскостей: .

РЕШЕНИЕ 1:

Нормальный вектор искомой плоскости перпендикулярен к нормальным векторам данных плоскостей, т.е.

и уравнение искомой плоскости: x + 7y + 3z = 0.

РЕШЕНИЕ 2:

Нормальный вектор искомой плоскости перпендикулярен к нормальным векторам данных плоскостей. Из условия перпендикулярности можно найти координаты вектора из системы:

,

3. Прямая линия в пространстве

Общие уравнения прямой

Прямая линия в общем виде определяется как линия пересечения двух плоскостей, то есть системой уравнений:

Канонические уравнения прямой

Любой ненулевой вектор , лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется направляющим вектором прямой.

Пусть - текущая точка прямой, а Вектор коллинеарен вектору , следовательно, их координаты пропорциональны.

Канонические уравнения прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор , имеют вид:

Параметрические уравнения прямой

Обозначим отношения, входящие в канонические уравнения прямой, через t:

.

Отсюда получаем параметрические уравнения прямой в виде:

Уравнение прямой в виде проекций на координатные плоскости

ПРИМЕР: Прямая задана общими уравнениями: (*)

Составьте канонические и параметрические уравнения прямой. Напишите ее уравнение в виде проекций на координатные плоскости.

Найдем координаты точки, лежащей на прямой. Положим, а две другие координаты найдем из системы (*):

В качестве направляющего вектора прямой выберем вектор, являющийся векторным произведением нормальных векторов плоскостей, линией пересечения которых будет искомая прямая.

,

Запишем канонические уравнения прямой: . Параметрические уравнения прямой имеют вид:

Уравнение прямой в проекциях: