2. Плоскость в пространстве

Плоскость – одно из исходных понятий геометрии, определяется аксиомами.

Характеризуется свойствами:

1. плоскость есть поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые ее точки;

2. плоскость есть множество точек, равноотстоящих от двух заданных точек.

Для решения задач аналитической геометрии используют различные, наиболее подходящие к каждому случаю виды уравнений плоскости.

Общее уравнение плоскости (поверхность первого порядка)

Теорема. В декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени, и каждое уравнение первой степени определяет плоскость.

Доказательство.

Возьмем на плоскости P произвольную точку .

Выберем вектор , перпендикулярный плоскости.

Пусть – произвольная точка, она лежит на плоскости , если , то уравнение плоскости определяется условием .

Так как координаты векторов равны и ,то их скалярное произведение равно

.

Уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор , имеет вид:

.

Раскрыв скобки, и обозначив , получим уравнение первой степени или общее уравнение плоскости:

.

ПРИМЕР: Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно к вектору .

Искомое уравнение примет вид: , .

Если два уравнения и определяют одну и ту же плоскость, то их отличные от нуля коэффициенты пропорциональны:

.

Неполные уравнения плоскостей

Рассмотрим частные случаи уравнения первой степени .

1. D = 0: Ax + By + Cz = 0. Это уравнение определяет плоскость, проходящую через начало координат.

2. A = 0: By + Cz + D = 0.

B = 0: Ax + Cz + D = 0.

C = 0: Ax + By + D = 0.

Эти уравнения определяют плоскости, параллельные соответственно координатным осям OX, OY, OZ, так как соответствующие компоненты нормального вектора плоскости равны нулю.

3. A = 0, B = 0: Cz + D = 0.

A = 0, C = 0: By + D = 0.

B = 0, C = 0: Ax + D = 0.

Эти уравнения определяют плоскости, параллельные соответственно координатным плоскостям OXY, OXZ, OYZ.

4. A = 0, B = 0, D = 0: Cz = 0.

A = 0, C = 0, D = 0: By = 0.

B = 0, C = 0, D = 0: Ax = 0.

Эти уравнения определяют координатные плоскости XOY, XOZ,YOZ.

Уравнение плоскости «в отрезках»

Пусть коэффициенты в общем уравнении плоскости отличны от нуля. Преобразуем общее уравнение плоскости:

Если обозначить , получим

уравнение плоскости «в отрезках»:

, где

представляют собой отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях.

ПРИМЕР: Какие отрезки отсекает на осях координат плоскость

2x – 4y + 6z –12 = 0 ?

Приведем общее уравнение плоскости к виду уравнения «в отрезках»:

.

Отрезки, отсекаемые на осях, равны a = 6, b = –3, c = 2.

Нормальное уравнение плоскости

Пусть дана плоскость. Проведем через начало координат прямую, перпендикулярную к плоскости (нормаль), и обозначим через P точку пересечения плоскости и нормали. На нормали введем положительное направление, обозначим углы, которые составляет нормаль с осями координат через , тогда - единичный вектор в направлении . На плоскости возьмем произвольную точку M(x, y, z), .

Проекция вектора на нормаль равна

.

Если известна длина отрезка OP = p, то уравнение задает нормальное уравнение плоскости в виде:

,

где - направляющие косинусы нормали к плоскости,

а p – расстояние от плоскости до начала координат.

Приведем общее уравнение плоскости к нормальному виду.

Так как эти уравнения определяют одну и ту же плоскость, то их коэффициенты пропорциональны: .

Из условия , которому удовлетворяют направляющие косинусы вектора, следует, что . Введем так называемый нормирующий множитель , знак которого определяется из условия , то есть должен быть противоположен знаку свободного члена нормируемого уравнения. Домножением на нормирующий множитель общее уравнение плоскости приводится к нормальному виду: