
- •Оглавление
- •3. Прямая линия в пространстве 22
- •4. Прямая и плоскость 25
- •1. Простейшие задачи на плоскости 26
- •I. Векторная алгебра
- •1. Определение вектора
- •2. Линейные операции над векторами и их свойства
- •3. Базис и координаты Декартов прямоугольный базис и декартова система координат
- •Декартова прямоугольная система координат
- •Проекция вектора на ось
- •4. Скалярное произведение векторов
- •Геометрические приложения скалярного произведения векторов в декартовой системе координат
- •5. Векторное произведение векторов
- •6. Смешанное произведение векторов
- •Выражение смешанного произведения в декартовых координатах
- •II. Аналитическая геометрия в пространстве
- •1. Уравнения поверхностей и линий
- •2. Плоскость в пространстве
- •Общее уравнение плоскости (поверхность первого порядка)
- •Неполные уравнения плоскостей
- •Уравнение плоскости «в отрезках»
- •Нормальное уравнение плоскости
- •Расстояние от точки до плоскости
- •Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
- •Угол между двумя плоскостями
- •Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей
- •Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
- •Угол между двумя прямыми
- •Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •4. Прямая и плоскость Точка пересечения прямой и плоскости
- •Уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую
- •III. Аналитическая геометрия на плоскости
- •2. Прямая линия на плоскости
- •Уравнение прямой в отрезках
- •Нормальное уравнение прямой
- •Окружность
- •Гипербола
- •Сопряженные гиперболы – две гиперболы, которые в одной и той же системе прямоугольных координат при одних и тех же значениях и определяются уравнениями и .
- •Парабола
- •4. Преобразования координат Параллельный перенос
- •Поворот координатных осей
- •Изменение начала координат и поворот осей
- •Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
- •5. Линии в полярной системе координат
- •Связь полярных координат с декартовыми
- •Окружности
- •Спирали
- •Астроида
- •IV. ПоверхносТи второго порядка
- •Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям
- •Эллипсоид
- •Гиперболоиды Однополостный гиперболоид
- •Двуполостный гиперболоид
Декартова прямоугольная система координат
Декартова система
координат в пространстве определяется
заданием точки О – начала координат
и базисных векторов
(трех взаимно перпендикулярных векторов
единичной длины).
Вектор
,
идущий из начала координат в точку
,
называется радиус-вектором точки
.
Координаты
радиус-вектора
и координаты точки
совпадают
.
Если
известны координаты точек начала
и конца
вектора, то координаты вектора
.
Два вектора равны, тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты в одном и том же базисе.
Необходимым и достаточным
условием коллинеарности векторов
и
,
,
является пропорциональность их
соответствующих координат:
Линейные операции над
векторами сводятся к линейным операциям
над их координатами:
,
.
Проекция вектора на ось
Осью называется прямая с лежащим
на ней единичным вектором
(ортом), задающим положительное
направление на прямой.
Проекцией
вектора
на ось называется направленный отрезок
на оси, алгебраическое значение которого
равно скалярному произведению
.
Для вектора
проекция
на прямую
равна числу
.
Проекции обладают свойствами:
1)
;
2)
.
Декартовы
прямоугольные координаты вектора
равны проекциям этого вектора на оси
,
,
соответственно:
,
,
,где
– углы, которые составляет вектор
с координатными осями
,
,
.
Косинусы
углов (,
,
)
вектора
с векторами базиса
называются направляющими косинусами
вектора
.
Вектор
представляет собой вектор единичной
длины в направлении вектора
.
4. Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением
ненулевых векторов
называется число, равное произведению
длин этих векторов на косинус угла
между ними:
,
.
Скалярное произведение обладает свойствами:
-
;
-
;
-
;
-
, если
;
-
, если
или (и)
или
.
Выражение скалярного произведения векторов в декартовых координатах
Теорема. Если два
вектора
и
определены своими декартовыми
прямоугольными координатами
,
,
то скалярное произведение этих векторов
равно сумме произведений их соответствующих
координат, то есть
.
Доказательство.
Но
,
аналогично
,
;
.
Геометрические приложения скалярного произведения векторов в декартовой системе координат
-
=
.
-
.
-
Проекция
вектора
на вектор
.
-
Направляющие косинусы вектора
:
,
,
.
-
Для направляющих косинусов справедливо соотношение
.
5. Векторное произведение векторов
В
пространстве различают правые и левые
тройки векторов. Упорядоченная
тройка некомпланарных векторов
,
,
приведенных к одному началу, называется
правой,
если из конца третьего вектора
кратчайший поворот первого вектора
ко второму
виден совершаемым против часовой
стрелки. В противном случае тройка
называется левой.
-
правая
левая
Тройка
векторов базиса
считается правой.
При перестановке местами двух соседних векторов ориентация тройки меняется.
Если
тройки
- правые, то
- левые.
При круговой (циклической) перестановке векторов ориентация тройки
не меняется.
Векторным произведением
ненулевых и неколлинеарных векторов
и
называется вектор
,
удовлетворяющий следующим трем
требованиям:
1) длина вектора
равна произведению длин векторов
и
на синус угла между ними, т.е.
,
2) вектор
ортогонален к каждому из векторов
и
,
т.е.
перпендикулярен плоскости, в которой
лежат векторы
и
.
3). Вектор
направлен так, что тройка
является правой.
Векторное произведение полагают
равным нулю, если
или (и)
или они коллинеарны.
Векторное произведение обладает свойствами:
-
;
-
;
-
;
-
для любого вектора
.
-
, если векторы
и
коллинеарны.
Приведем некоторые схемы для
вычисления различных векторных
произведений векторов базиса
:
,
.
Выражение векторного произведения векторов в декартовых координатах
Теорема. Если два
вектора
и
заданы своими декартовыми прямоугольными
координатами
,
,
то
.
Доказательство.
.
Если записать
векторное произведение в виде определителя
,
то его координаты получаются при разложении определителя по элементам первой строки.
Теорема. Модуль
вектора
равен площади
параллелограмма, построенного на
векторах
и
.
Доказательство.
Площадь
параллелограмма (см. рис.), построенного
на векторах
и
,
равна
.