I. Векторная алгебра

1. Определение вектора

Понятие вектора возникло как математическая абстракция объектов, характеризующихся не только скалярной величиной, но и направлением, например: перемещение, скорость, напряженность электрических и магнитных полей.

Вектором называется направленный отрезок прямой, у которого один конец (точка ) называется началом вектора, а другой конец (точка ) – концом вектора.

Вектор обозначается либо значком , либо одной строчной буквой .

Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым вектором:. Нулевому вектору приписывают любое направление.

Вектор характеризуется модулем (или длиной), который равен длине отрезка : .

Вектор называется противоположным ненулевому вектору .

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и направление.

Точка приложения вектора может быть выбрана произвольно, векторы иногда называют свободными.

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

2. Линейные операции над векторами и их свойства

Линейными операциями над векторами называются сложение векторов и умножение вектора на вещественное число.

Суммой двух векторов и называется вектор, проведенный из начала вектора в конец вектора при условии, что вектор приложен к концу вектора .

Правило сложения векторов, изложенное в этом определении, обычно называют правилом треугольника.

Разностью называется вектор , такой, что .

Операция сложения векторов обладает свойствами:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Произведением вектора на вещественное число называется вектор, коллинеарный вектору , имеющий длину и имеющий направление, совпадающее с направлением вектора в случае и противоположное направлению вектора в случае . Если , то .

Геометрический смысл операции умножения вектора на число:

при умножении вектора на число вектор "растягивается в раз".

Операция умножения вектора на число обладает свойствами:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

3. Базис и координаты Декартов прямоугольный базис и декартова система координат

Базисом в пространстве будем называть три некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.

Базис, состоящий из единичных взаимно перпендикулярных векторов (ортов), называется ортонормированным (ОНБ).

Базисом на плоскости будем называть два неколлинеарных вектора на этой плоскости, взятые в определенном порядке.

Базисом на прямой будем называть любой ненулевой вектор этой прямой.

Если – произвольный вектор какой-либо прямой, то любой вектор на этой прямой может быть записан в виде .

Если и – произвольные неколлинеарные векторы на плоскости, то любой вектор на этой плоскости может быть записан в виде .

Каждый вектор пространства может быть разложен по базису в пространстве.

Если , , – три некомпланарных вектора в пространстве, то любой вектор может быть записан в виде .

Геометрически вектор представляет собой пространственную диагональ параллелепипеда, построенного на векторах , и .

Числа называются координатами вектора в соответствующем базисе.

Теорема. Разложение вектора по базису единственно.