Двуполостный гиперболоид

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность второго порядка с каноническим уравнением

.

Линия пересечения гиперболоида и плоскости задается системой уравнений

определяющей пустое множество.

В сечении плоскостью имеем кривую

где

Если , Г – эллипс с полуосями

Если , Г – точка (0,0,c).

Для –с < h < c сечение – пустое множество.

Сечение с плоскостью

дает гиперболу, пересекающую ось OZ.

Сечение плоскостью также задает гиперболу, пересекающую ось OZ.

Двуполостный гиперболоид - поверхность, имеющая вид двух бесконечно расширяющихся чаш с тремя плоскостями симметрии:

Параболоиды

Эллиптический параболоид

Эллиптическим параболоидом называется поверхность с каноническим уравнением

Поверхность расположена в области . Сечениями в плоскостях являются эллипсы, а в плоскостях – параболы, в плоскости – точка (0,0,0).

Гиперболический параболоид

Гиперболическим параболоидом называется поверхность с каноническим уравнением

Применение метода сечений приводит к тому, что в плоскостях обнаруживаются гиперболы, а в плоскостях – параболы, в плоскости – пересекающиеся прямые.

Конус

Коническая поверхность – множество прямых (образующих) пространства, соединяющих все точки некоторой линии (направляющей) с данной точкой (вершиной) пространства. Каноническое уравнение конуса второго порядка имеет вид:

.

М

етод сечений позволяет составить представление о форме этой поверхности:

Осью конуса, заданного рассматриваемым каноническим уравнением, является ось OZ. Поперечные сечения плоскостями являются эллипсами, а в плоскостях – пересекающиеся прямые, проходящие через начало координат, сечения плоскостями – гиперболы, сечения плоскостями, не параллельными координатным, может дать параболу.

Цилиндры

Цилиндрическая поверхность – множество прямых (образующих) пространства, параллельных заданному направлению и проходящих через некоторую линию (направляющую).

Эллиптический цилиндр

Эллиптический цилиндр задается каноническим уравнением

.

Осью цилиндра является координатная ось OZ, поперечные сечения – эллипсы.

Гиперболический цилиндр

Гиперболический цилиндр задается каноническим уравнением

.

Параболический цилиндр

Параболический цилиндр задается каноническим уравнением

Заметим, что признаком рассмотренных цилиндрических поверхностей является отсутствие той переменной в каноническом уравнении, которой

параллельна образующая.

55