4. Преобразования координат Параллельный перенос

Перенесём начало координат из точки О в точку О₁ параллельным переносом осей. Пусть в системе координат xoy точка М имеет координаты x и y. Система координат xO₁y получена из системы координат xOy параллельным переносом осей, при котором начало координат О₁ имеет координаты x₀ и y₀ в системе координат xoy. Точка М в системе координат xO₁y имеет координаты x и y. Связь между координатами точки M(x,y) и точки M(x,y) в старой и новой системах координат задается формулами:

(1) (2)

Уравнения кривых второго порядка, когда их центры симметрии находятся в точке с координатами O₁(x₀,y₀), получаются с помощью преобразования координат при параллельном переносе осей (2).

- уравнение окружности с центром

в точке O₁(x₀,y₀) и радиусом R;

- уравнения эллипса и гиперболы с

центром симметрии в точке O₁(x₀,y₀);

- уравнения асимптот гиперболы;

- уравнение параболы с вершиной в точке O₁(x₀,y₀).

Поворот координатных осей

Выведем формулу преобразования координат при повороте координатных осей.

A B

Повернём оси координат на угол  относительно исходной системы координат. Координаты точки М в системе координат xOy равны x и y. Найдём её координаты в системе коорднат xOy. В треугольнике CMD , OD=x, MD=y.

Следовательно, x=OA=OB-AB=OB-CD, y=MA=AC+CM=DB+CM.

Поскольку

то (3)

Эти формулы выражают старые координаты (x,y) произвольной точки М через новые координаты (x,y) этой же точки при повороте осей на угол .

Формулы, выражающие новые координаты (x,y) точки М через её старые координаты (x,y), получим из следующих соображений: если новая система получена поворотом старой на угол , то старая система получается поворотом новой на угол (-), поэтому в равенствах (3) можно поменять местами старые и новые координаты, заменяя одновременно  на (-).

Выполнив это преобразование, получим

Изменение начала координат и поворот осей

Если оси декартовой прямоугольной системы переносятся параллельно на величины x₀ по оси ox и на y₀ по оси oy и, кроме того, поворачиваются на угол , то этому изменению системы соответствуют формулы преобразования координат, выражающие старые координаты через новые

(4)

и новые координаты через старые:

(5)

Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду

Пусть кривая второго порядка задана в общем виде:

.

Всякая линия второго порядка есть либо эллипс, либо парабола, либо распадается на пару прямых (пересекающихся, параллельных или совпадающих).

Приведение этого уравнения к каноническому виду заключается в нахождении системы координат, в которой кривая имеет канонический вид, геометрически это может быть достигнуто поворотом координатных осей на угол, совмещающий оси симметрии кривой с координатными осями и переносом начала координат в центр кривой (x₀,y₀).

1) Члены, содержащие переменные в первой степени, исчезают после выделения в общем уравнении полных квадратов, тем самым алгебраически позволяют найти центр кривой после применения формул

Центр кривой, если он существует, находится из системы

(6)

– условие центральности.

Кривые второго порядка, имеющие единственный центр, называются центральными.

После переноса начала координат в центр (x₀,y₀) уравнение кривой примет вид

,

где .

2) Члены, содержащие произведение текущих координат исчезают после

применения формул

подвергнем уравнение (6) преобразованию поворота осей координат на угол .

После преобразования

где - новые координаты.

Выпишем из преобразованного уравнения, слагаемые второго порядка:

Из этих слагаемых нас интересует слагаемое, содержащее произведение , коэффициент перед которым равен

Угол поворота находится из условия В₁=0: .

Откуда (7)

Каноническое уравнение кривой принимает вид:

,

где

Сделаем некоторые замечания о виде линий второго порядка.

При переходе от одной системы прямоугольных координат к другой мы заменяем уравнение

линии второго порядка другим уравнением

.

При этом выражения и

остаются равными. Они называются инвариантами (неизменными) уравнения второй степени.

С их помощью различают три типа линий второго порядка.

1. Эллиптический тип, если .

К нему относятся, кроме действительного эллипса, также мнимый эллипс

и пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке .

2. Гиперболический тип, если .

К нему относится, кроме гиперболы, пара действительных пересекающихся прямых .

3. Параболический тип, если .

К нему относится, кроме параболы, пара параллельных (действительных или мнимых) прямых (они могут совпадать).

Пример. Приведите уравнение 5x² + 9y² – 30x + 18y + 9 = 0 к каноническому виду и постройте кривую.

Выделим полный квадрат: сгруппируем члены этого уравнения, содержащие одноименные координаты: (5x² – 30x) + (9y² + 18y) +9 = 0, 5(x² – 6x) + 9(y² + 2y) +9 = 0.

Дополним члены в скобках до полных квадратов: 5(x² – 6x + 9 – 9) + 9(y² + 2y + 1 – 1) +9 = 0, 5(x – 3)² + 9(y + 1)² = 45.

Введем новые координаты: x = x – 3, y = y + 1, x₀ = 3, y₀ = -1,

то есть точка О₁(3, -1) – центр кривой.

Уравнение в новой системе координат принимает вид:

, определяет эллипс с полуосями а=3, b= который в исходной системе координат имеет центр в точке О₁(3, -1).

Пример. Определите вид кривой

Определим угол поворота осей по формуле (7):

Подвергнем уравнение кривой преобразованию:

и получим уравнение эллипса

.

x ² + 2y ² = 2.