4. Побудова графіків функції

   1. Математична довідка

Нехай заданий графік функції y = f(x), тоді справедливі твердження:

1. Графік функції y = f(x) + D є графік функції f(x), зсунутий на |D| одиниць паралельно осі ОY (при D > 0 вверх, при D < 0 вниз).

2. Графік функції y = f(x + c) є графіком функції f(x), зсунутим на |c| одиниць паралельно осі ОХ (при c > 0 вліво, при c < 0 вправо).

3. Графік функції y = Af(x) є графік функції f(x), розтягнутий в А раз по осі OY (при A > 1, або стиснутий по OY при 0 < A < 1).

4. Графік функції y = f(Bx) є графік функції f(x), стиснутий в В раз при В > 1 по осі ОХ або розтягнутий при 0 < В < 1.

5. Можлива комбінація y = Af(Bx + C) + D.

2. Приклади розв’язування

Приклад 5.1. Побудувати графік функції y = -3cos2x

Розв`язання.

1. Будуємо графік функції y₁ = f(x) = cosx

x	0	/4	/2		-/4	-/2	-
y1	1	0,707	0	-1	-0,707	0	-1

2. Будуємо графік y₂ = cos2x - стиск по ОХ в 2 рази

3. Будуємо графік y₃ = -cos2x – дзеркальне відображення відносно ОХ графіка y₂ = cox2x, тобто y₃ = -y₂

4. Будуємо графік y₄ = -3cox2x – розтягуємо по осі OY в 3 рази графік y₃, тобто y₄ = 3y₃; y = y₄

5. Границі

   1. Математична довідка

1. Функція y = f(x) має границю А при х = х₀:

якщо при наближенні х до х₀ значення функції f(x) підходять як завгодно близько до числа А.

2. Безмежна границя функції:

3. Границя функції на безмежності:

4. Границя функції зліва і справа:

5. Основні теореми (твердження) про границі функцій:

а) Функція не може мати більше однієї границі в точці.

б) Границя постійної величини дорівнює цій величині.

Нехай

тоді:

в)

г)

д)

6. Перша особлива границя:

7. Друга особлива границя:

,

інші форми

8. Обчислення границь.

Використовують основні теореми про границі та перетворюють функцію до вигляду, для якого границю простіше знайти.

2. Приклади розв’язування

Приклад 6.1. Знайти при

а) x₀ = 7; б) x₀ = 5; в) x₀ = .

Розв`язання.

а) На основі неперервності функції в точці х = 7 шукана границя дорівнює значенню функції в цій точці, тобто

б) При х  5 чисельник прямує до 35 + 5 = 20, тобто являється обмеженою функцією, а знаменник (х - 5) прямує до нуля, тобто є безконечно малою величиною, тому їх відношення є безконечно велика величина, тобто

в) , в цьому випадку ні чисельник, ні знаменник не мають границі, тому що обидва необмежено зростають .

Перетворимо функцію під знаком границі , розділивши чисельник і знаменник на х, тоді одержимо:

Приклад 6.2. Знайти .

Розвязання.

Границя чисельника і знаменника дорівнює нулю :

Отже, теорему про границю частки застосовувати не можна.

Перетворимо функцію під знаком границі:

ми розклали чисельник на множники та скоротили дріб на (х - 4).

Тому

Приклад 6.3. Знайти

Розвязання.

В цьому випадку ні чисельник ні знаменник не мають границі, тому що обидва необмежено зростають . Перетворимо функцію під знаком границі, розділивши чисельник і знаменник на х⁴:

.

Тоді

Приклад 6.4. Знайти

Розвязання.

При безпосередній підстановці х = 1 матимемо невизначеність . Це означає, що у чисельнику і в знаменнику є множник (х - 1), який їх перетворює в нуль. Поділимо чисельник на (х - 1) “кутом”:

	x3	–	5x	+	4			x – 1
	x3	–	x2					x2 + x- 4
			x2	–	5x	+	4
			x2	–	x
					-4x	+	4
					-4x	+	4
							0

Тому чисельник можна записати у вигляді добутку співмножників:

x³ – 5x + 4 = (x – 1)(x² + x – 4).

Щоб виділити множник (х – 1) у знаменнику, помножимо знаменник і чисельник на спряжений знаменнику вираз:

Тому

Приклад 6.5. Знайти:

а) б) в)

Розвязання.

а)

б)

так як кожний із останніх співмножників є границя типу яка дорівнює 1.

в)

Перетворимо функцію під знаком границі:

Приклад 6.6. Знайти границю

а) б) в)

Розвязання.

Використаємо другу особливу границю перетворюючи функцію під знаком границі.

а)

б)

в)

Перетворимо функцію Виділимо 1, поділивши кутом (3х + 2) на (3х - 4):

	3x	+	2	3x – 4
	3x	-	4	1
			6

Тому

Тоді .

Перейдемо до границі

Знаходимо

тому