2. Векторна алгебра.

   1. Математична довідка.

1. Сума векторів є вектор , що являє собою замикаючу сторону векторної лінії з ланками .

2. Різниця векторів є вектор , де є протилежний вектору .

3. Добуток вектора на скаляр є вектор такий що , де , , причому напрям вектора співпадає з напрямом вектора , якщо , і протилежний йому, якщо .

4. Два вектори, що лежать на паралельних прямих або на одній прямій називаються коленіарними . Вектори паралельні одній і тій же площині, або ті що лежать в одній площині називаються компланарними.

5. Впорядкована трійка некомпланарних векторів називається базисом. Довільний геометричний вектор може бути єдиним чином представлений у вигляді . Числа - називають координатами вектора в базисі , коротко це записують так (). Якщо , де - одиничні взаємоперпендикулярні вектори правої орієнтації, то () називають прямокутними декартовими координатами вектора .

6. Скалярний добуток векторів є скаляр де ). Вектори ортогональні, якщо .Якщо то .

7. Векторний добуток векторів є вектор причому та і - права трійка векторів; очевидно – площа паралелограма побудованого на векторах . Якщо то

де - орти осей x, y, z.

8. Площа трикутника побудованого на векторах буде .

9. Змішаний добуток трьох векторів визначає об’єм паралелепіпеда побудованого на цих векторах: Якщо то

10. Об’єм піраміди побудованої на векторах дорівнює .

11. Умова некомпланарності трьох векторів. Три вектори утворюють базис (некомпланарні) тільки тоді, коли визначник, складений з координат цих векторів, відмінний від 0.

2. Приклади розв’язування.

Приклад 2.1. Обчислити площу трикутника АВС, де А(1, 0, 2), В(1, 2, 0), С(0, 1, 2).

Розв’язання.

Знайдемо вектори:

Тоді

Площа

Відповідь: кв. од.

Приклад 2.2. Знайти об’єм піраміди з вершинами А(1,2,3), В(0,2,0), С(1,0,5), D(0,4,1).

Розв’язання.

Знайдемо вектори :

та використаємо формулу

В нас

Тому (куб. од.).

Відповідь: 1 куб. од.

Приклад 2.3. Довести, що вектори некомпланарні та знайти координати вектора в базисі ,якщо

.

Розв’язання.

Три вектори некомпланарні і утворюють базиси тільки тоді, коли визначник, складений з координат цих векторів, відмінний від 0.

В нас

Отже , наші некомпланарні.

В базисі вектор запишеться:

. (1)

Або в координатній формі:

(2)

Розв’яжемо систему (2) відносно , наприклад по Крамеру:

Отже, .

3. Аналітична геометрія

   1. Математична довідка. А) аналітична геометрія на площині

1. Декартові прямокутні координати точки Р(x, y) на площині ОXY є x = r_x, y = r_y, де - радіус – вектор точки Р.

2. Відстань між двома точками та

.

3. Координати середини відрізка Р₁Р₂

, .

4. Загальний вигляд рівняння прямої на площині Аx+Ву+С = 0, де А, В, С – числа.

5. Якщо , то рівняння прямої має вигляд у = kх + b, де - кутовий коефіцієнт прямої, , - кут між напрямком осі Оx і прямою,

0

b – відрізок, що відсікається прямою на осі Оy (з урахуванням знаку).

6. Рівняння прямої, що проходить через задану точку в заданому напрямку :

, де .

7. Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки і :

.

8. Відстань від точки до прямої Аx+Ву+С = 0 знаходиться по формулі:

9. Координати точки перетину двох прямих одержуємо із сумісного розв’язку їх рівнянь:

10. Рівняння бісектрис кутів , утворених при перетині двох прямих:

11. Кут між прямими, які перетинаються, знаходять по формулі

, де

- кутові коефіцієнти заданих двох прямих.

Прямі паралельні, якщо .

Прямі перпендикулярні, якщо , тобто

12. Рівняння кола радіуса R з центром в початку координат:

.

Рівняння кола радіуса R з центром

.

13. Рівняння еліпса з центром в початку координат і півосями а і b:

.

Рівняння еліпса з центром

.

14. Канонічне рівняння гіперболи з півосями а і b:

.

Рівняння рівнобічної гіперболи або .

15. Канонічне рівняння параболи з параметром р: .