1.4 Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Алгоритм перевода целого десятичного числа в позиционную систему счисления с другим основанием:

1. Разделить число на основание системы счисления и зафиксировать остаток и частное.

2. Если частное больше или равно основанию системы счисления, то продолжать делить, иначе записать последнее частное и все полученные остатки в обратной последовательности.

Пример 1. Перевести число 11 из десятичной системы счисления в двоичную систему.

Соберем последнее частное и остатки от деления в направлении, указанной стрелкой, начиная с последней единицы и получим число в двоичной системе счисления: 11₁₀ = 1011₂

Пример 2. Если десятичное число достаточно большое, то можно применить следующий вид записи:

соберем остатки от деления в направлении, указанной стрелкой, начиная с последней единицы (последнее частное) и получим число в двоичной системе счисления:

363₁₀ = 101101011₂

Пример 3. Перевести число 26₁₀ в двоичную, троичную и шестнадцатеричную системы счисления. Записать перевод можно и таким образом:    

2610→ ( )2		2610→ ( )3			2610→ ( )16
26:2=	13+0	26:3=	8+2	26:16=		1+10(А)
13:2=	6+1	8:3 =	2+2
6:2=	3+0
3:2 =	1+ 1

Результат: 26₁₀=11010₂, 26₁₀=222₃, 26=1A₁₆

Для дробных чисел правило последовательного деления заменяется правилом последовательного умножения.

Пример 4.Перевести число 0,375₁₀ в двоичную и шестнадцатеричную системы счисления. Записать перевод можно таким образом:   

 

0,37510 → ( )2		0,37510 → ( )16
0,375∙2=	0,75	0,375∙16=	6,0
0,75∙2=	1,5
0,5∙2 =	1,0

Операция умножения продолжается до тех пор, пока дробная часть не окажется равной 0 либо не будет достигнута требуемая точность. Соберем все целые части ( сверху вниз). Результат: 0,375₁₀=0,011₂; 0,375₁₀=0,6₁₆.

Алгоритм перевода чисел из любой позиционной системы счисления в десятичную систему:

Представление чисел в развернутой форме одновременно является способом перевода чисел в десятичную систему из любой другой позиционной системы счисления. Достаточно подсчитать результат по правилам десятичной арифметики.

Пример 5.Перевести 101,01₂ → ( )₁₀

Пример 5:Перевести:

1001011₂ → ( )₁₀

113₈ → ( )₁₀

4В₁₆ → ( )₁₀

Можно применить следующий вид записи:

Проще всего осуществляется перевод чисел из двоичной системы в системы с основанием, равным степеням двойки (8 и 16), и наоборот. Для того чтобы целое двоичное число записать в системе счисления с основанием 2ⁿ, нужно:

• данное двоичное число разбить справа налево на группы по n-цифр в каждой;

• если в последней левой группе окажется меньше n разрядов, то дополнить ее нулями до нужного числа разрядов;

• рассмотреть каждую группу, как n-разрядное двоичное число, и заменить ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием 2ⁿ.

Двоично-шестнадцатеричная таблица

2-ная	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111
16-ная	0	1	2	3	4	5	6	7
2-ная	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
16-ная	8	9	A	B	C	D	E	F

Двоично-восьмеричная таблица

2-ная	000	001	010	011	100	101	110	111
8-ная	0	1	2	3	4	5	6	7

Например, надо перевести в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления число 1011000010,0011001₂.      Для этого разобьем исходное число на группы по 3 цифры (триады), начиная от десятичной запятой, и заменим триады восьмеричными цифрами:

001 011 000 010 , 001 100 100	- 2-ичное число;
1 3 0 2 , 1 4 4	- 8-ричное число.

Разобьем число на группы по 4 цифры (тетрады), начиная от десятичной запятой, и заменим тетрады шестнадцатеричными цифрами:

0010 1100 0010 , 0011 0010	- 2-ичное число;
2 С 2 , 3 2	- 16-ричное число.

Результат: 1011000010,0011001₂=1302,144₈=2C2,32₁₆