8.2. Задачи выпуклого программирования

Пусть исходная задача имеет вид:

(11)

(12)

(13)

Задача (11-13) называется задачей выпуклого программирования, если выполняются следующие условия:

1. – вогнутая функция, то есть для .

2. Область допустимых решений выпуклая.

3. Область регулярная, то есть существует по крайней мере одна внутренняя точка .

Можно построить функцию Лагранжа

Теорема 8: точка является оптимальным решением задачи выпуклого программирования тогда и только тогда, когда существует вектор такой, что для функции Лагранжа выполняются условия

1. 

2. условия дополняющей нежесткости:

3. 

Условия (14) называются условиями Куна-Таккера, а точка – точкой Куна-Таккера

Рассмотрим геометрический смысл условий Куна-Таккера.

Из первого условия (14.2) следует, что если все , , то

Второе условие (14.2), так как , запишется в виде

и означает, что для неактивных ограничений .

Тогда из условий дополняющей нежесткости следует

(15)

то есть градиент функции в оптимальной точке является линейной комбинацией с положительными коэффициентами градиентов к активным ограничениям. Иными словами, градиент критерия лежит в геометрическом конусе градиентов ограничений.

Если в оптимальной точке какая-либо координата , то вместо градиентов функций и рассматриваются их проекции на плоскость, перпендикулярную оси j.

В общем случае система уравнений и неравенств (14) слишком сложна для аналитического решения. Однако в задачах квадратичного программирования есть способы решения этой системы условий, сводящиеся к нахождению опорных решений систем линейных алгебраических уравнений.

8.3. Задачи квадратичного программирования

Пусть – квадратичная функция, – линейные функции. Тогда задача выпуклого программирования (11-13) называется задачей квадратичного программирования.

Неравенства (14.1) преобразуем в уравнения введением дополнительных переменных и , тогда необходимые и достаточные условия оптимальности (условия Куна-Таккера) запишутся в виде

(16)

(16.1-16.2) – это система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных . Опорное решение этой системы уравнений может быть найдено с помощью метода искусственного базиса с дополнительными требованиями (16.3-16.4). То есть, при введении переменных в базис необходимо следить за тем, чтобы ,и ,одновременно не являлись базисными (так как базисные переменные для невырожденного опорного плана положительны).

Два вектора условий системы уравнений (16.1-16.2) назовем сопряженными, если они либо соответствуют неизвестным , при некотором j, либо неизвестным , при некотором i.

Тогда для решения системы (16) достаточно найти опорное решение системы (16.1-16.2), базис которого не содержит сопряженных векторов условий.

Пример: Для производства 2-х видов продукции используется 2 ресурса, запасы которых составляют 8 и 12 тонн, а нормы расхода ресурсов на единицу (м³) продукции первого вида составляют соответственно 1 и 3 тонны, второго вида продукции – по 2 тонны.

Прибыль от реализации продукции зависит от объема продукции. Прибыль от реализации единицы продукции первого вида в объеме x₁ м³ составляет 6-х₁ тыс. руб. Прибыль от реализации единицы продукции второго вида в объеме х₂ м³ составляет 10-х₂ тыс. руб.

Определить план производства, максимизирующий суммарную прибыль от реализации всей произведенной продукции.

Математическая модель задачи

(17)

Целевая функция задачи вогнута, так как квадратичная форма отрицательно определена (она всегда ). Об этом также свидетельствует отрицательная определенность матрицы Гессе

Её главные миноры принимают значения -2, 4, то есть знаки чередуются.

Область, задаваемая линейными ограничениями, выпукла, содержит внутренние точки. Значит задача (17) является задачей выпуклого (квадратичного) программирования.

Строим функцию Лагранжа

Условия оптимальности Куна-Таккера

1.

(18)

2. Условия дополняющей нежесткости

(19)

3. (20)

Приведем (18) к виду равенств введением дополнительных неотрицательных переменных u_1, u_2, v_1, v₂.

(21)

Тогда условия дополняющей нежесткости (19) запишутся

(22)

К условию (20) добавим требование неотрицательности дополнительных переменных

(23)

Таким образом, для определения оптимального решения задачи (17) необходимо найти допустимое решение системы (21) с дополнительными условиями (22-23). В качестве допустимого достаточно найти опорное решение системы (21).

Опорное решение будем искать методом искусственного базиса. Для этого вводим в систему уравнений (21) две искусственные переменные , и минимизируем их сумму

(24)

(25)

(26)

Решаем задачу (24-26) симплекс-методом, следя за тем, чтобы базис каждого опорного плана не содержал сопряженных векторов условий. То есть, одновременно не могут быть базисными переменные из каждого условия дополняющей нежесткости (22) ; ; ; .

Первая симплекс таблица будет иметь следующий вид

										1	1
Сb	Б.п	x1	x2			u1	u2	v1	v2	y1	y2	b
1	y1	2	0	1	3	-1	0	0	0	1	0	6
1	y2	0	2	2	2	0	-1	0	0	0	1	10
0	v1	1	2	0	0	0	0	1	0	0	0	8
0	v2	3	2	0	0	0	0	0	1	0	0	12
	z	2	2	3	5	-1	-1	0	0	0	0	16

Переменные , нельзя вводить в список базисных, так как вектора условий при v₁, и v₂, сопряжены. Переменные x₁, x₂ – можно. Выберем разрешающий столбец при переменной x₂. Тогда разрешающая строка должна быть третьей. После выполнения операции однократного замещения получим следующую симплекс-таблицу

										1	1
Сb	Б.п	x1	x2			u1	u2	v1	v2	y1	y2	b
1	y1	2	0	1	3	-1	0	0	0	1	0	6
1	y2	-1	0	2	2	0	-1	-1	0	0	1	2
0	x2	1/2	1	0	0	0	0	1/2	0	0	0	4
0	v2	2	0	0	0	0	0	-1	1	0	0	4
	z	1	0	3	5	-1	-1	-1	0	0	0	8

Теперь из трех свободных переменных с положительными оценками x₁, , нельзя вводить в список базисных переменную – переменные v₂ и одновременно окажутся базисными, будут обе положительны и нарушится одно из условий дополняющей нежесткости (22) (вектора условий при v₂ и сопряжены). Введем в список базисных переменную . Разрешающая строка вторая. Очередная симплекс-таблица

										1	1
Сb	Б.п	x1	x2			u1	u2	v1	v2	y1	y2	b
1	y1	5/2	0	0	2	-1	1/2	1/2	0	1	-1/2	5
0		-1/2	0	1	1	0	-1/2	-1/2	0	0	1/2	1
0	x2	1/2	1	0	0	0	0	1/2	0	0	0	4
0	v2	2	0	0	0	0	0	-1	1	0	0	4
	z	5/2	0	0	2	-1	1/2	1/2	0	0	-3/2	5

Теперь нельзя выбирать разрешающими столбцы при переменных , u₂, v₁. Выберем первый столбец, разрешающей – первую строку.

										1	1
Сb	Б.п	x1	x2			u1	u2	v1	v2	y1	y2	b
0	x1	1	0	0	4/5	-2/5	1/5	1/5	0	2/5	-1/5	2
0		0	0	1	7/5	-1/5	-2/5	-2/5	0	1/5	2/5	2
0	x2	0	1	0	-2/5	1/5	-1/10	2/5	0	-1/5	1/10	3
0	v2	0	0	0	-8/5	4/5	-2/5	-7/5	1	-8/5	2/5	0
	z	0	0	0	0	0	0	0	0	-1	-1	0

Из симплекс-таблицы получаем опорный план

Все оценки свободных переменных неотрицательны, значит это оптимальное решение вспомогательной задачи (24-26). Искусственные переменные и обратились в 0, тогда это опорное решение системы уравнений (21) и оптимальное решение задачи (17).

Таким образом, по оптимальному плану требуется выпустить 2 первой продукции и 3 второй. При этом будет получена наибольшая прибыль f_max=29. Ресурс 1 дефицитен, его малое увеличение на единицу увеличивает значение критерия на 2 единицы: