Тема 3. С и с т е м ы л и н е й н ы х у р а в н е н и й
1. Δ
= -7 Δ1 = -7 Δ2 = 14
2. Δ
= 3 Δ1 = -3 Δ2 = 9
3. Δ
= 5 Δ1 = 10 Δ2 = - 5 Δ3
= -15
4. Δ
= -18 Δ1 = 0 Δ2 = 18 Δ3
= -36
5. Δ
= 20 Δ1 = -40 Δ2 = -20 Δ3
= 20
6. Δ
= 5 Δ1 = 5 Δ2 = 15 Δ3
= 10
1.
X
=
=
2.
X
=
=
3.
X
=
=
4. X
=
=
5.
X
=
=
6. X
=
=
Обозначения:
n - число неизвестных; r - ранг основной матрицы; r1 - ранг расширенной матрицы.
1.
n = 3;
r
= 3; r1
= 3
X =
2.
n = 3;
r
= 2; r1
= 3
3.
n = 4;
r
= 2; r1
= 2; n
- r
= 2
X = c1
+ c2
+
;
4.
n = 4;
r
= 2; r1
= 2; n
- r
= 2
X = c1
+ c2
+
;
5. n = 4; r = 2; r1 = 3
6. n = 5; r = 2; r1 = 2; n - r = 3
X
= c1
+ c2
+ c3
+
;
7. n = 5; r = 2; r1 = 2; n - r = 3
X
=
c1
+ c2
+ c3
+
;
8. n = 5; r = 2; r1 = 2; n - r = 3
X
=
c1
+ c2
+ c3
+
;
1.
X
= c
;
ФСР:
2. X
= c1
+ c2
;
ФСР:
3.
X
=
;
ФСР:
4. X
= c
;
ФСР:
5. X
= c1
+ c2
;
ФСР:
6. X
= c1
+ c2
+ c3
;
ФСР:
Дополнительные задачи.
1. P
(x) = x2
- 5x + 3
2.
P (x)
= ax2
+ bx
+ c, a
=
, b =
, c =
, где
=
=
= (
)(
)(
),
1
=
,
2
=
,
3
=
3. Если λ = 0, то система совместная и неопределенная (r = 2, n - r = 2); если λ ≠ 0, то система несовместная.
4. Если λ ≠ 1 и λ ≠ -3, то система совместная и определенная; если λ = 1, то система совместная и неопределенная (r = 1, n - r = 3); если λ = -3, то система несовместная.
5. Если λ ≠ 8, то система совместная и неопределенная (r = 3, n - r = 1); если λ = 8, то система совместная и неопределенная (r = 2, n - r = 2).
6. Если λ ≠ 0 и λ ≠ -3, то система совместная и определенная; если λ = 0, то система совместная и неопределенная (r = 1, n - r = 2); если λ = -3, то система несовместная.
7. a = -1 8. a1 = 2, a2 = - 4
9. ФСР:
10.
ФСР:
11.
X
= c
+
12.
X
= c1
+ c2
+
Глава 2. В Е К Т О Р Н А Я А Л Г Е Б Р А
Тема 1. Линейные действия с векторами.
§ 1. Основные понятия.
§ 2. Линейные действия с векторами и их свойства.
§ 3. Линейные векторные пространства. Понятие базиса.
§ 4. Разложение вектора по базису.
Задачи по теме 1.
Тема 2. Умножение векторов.
§ 1. Проекция вектора на ось и ее свойства.
§ 2. Скалярное произведение векторов и его свойства.
§ 3. Векторное произведение векторов и его свойства.
§ 4. Смешанное произведение векторов и его свойства.
Задачи по теме 2.
Тема 3. Прямоугольная декартова система координат.
§ 1. Основные понятия.
§ 2. Линейные действия с векторами в ортонормированном базисе.
§ 3. Произведения векторов в координатах относительно ортонормированного базиса.
§ 4. Вычисление модуля, направляющих cos - ов и проекций векторов.
Задачи по теме 3.
Тема 4. Геометрические задачи.
§ 1. Деление отрезка в данном отношении.
§ 2. Вычисление расстояния между двумя точками и угла между двумя векторами.
§ 3. Вычисление площадей и объемов
Задачи по теме 4.
Ответы к задачам.
1.
Линейные
действия с векторами.
§ 1. Основные понятия.
B
Вектор - это направленный отрезок.
A
Обозначения:
или
(точка
- начало вектора, точка
- конец вектора).
Модуль
(длина) вектора - это длина
направленного отрезка:
=
.
- нулевой вектор - вектор, у которого
начало и конец совпадают (A
B).
Модуль
нулевого вектора равен нулю:
= 0.
Векторы
,
,
…,
- называются коллинеарными, если
они лежат на одной прямой, либо на
параллельных прямых. Обозначение:
Коллинеарные векторы могут быть одинаково направленными или противоположно направленными:
Векторы
,
,
…,
- называются компланарными, если
они лежат в одной плоскости, либо в
параллельных плоскостях.
Вектор, коллинеарный данному вектору
,
одинаково направленный с ним и имеющий
единичную длину, называется ортом
вектора
и обозначается
:
- орт вектора
Противоположный вектор - это вектор,
коллинеарный данному вектору
,
противоположно направленный с ним и
имеющий ту же длину. Обозначение:
-
.
вектор, противоположный вектору
:
-
Равенство векторов.
Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют равные модули:
=
Угол между векторами.
Угол между двумя векторами - это угол между лучами, на которых лежат эти векторы и направления которых совпадают с направлениями этих векторов:
Угол между
двумя векторами может принимать значения
от 0 до :
0
.
Векторы называются ортогональными, если угол между ними - прямой.
