§ 4. Разложение определителя 3-го порядка по строке или столбцу.
Определитель 3-го порядка равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:
det
A =
det
A =
+
+
- разложение по 1-й строке;
det
A =
+
+
- разложение по 2-й строке;
det
A =
+
+
- разложение по 3-й строке;
det
A =
+
+
- разложение по 1-му столбцу;
det
A =
+
+
- разложение по 2-му столбцу;
det
A =
+
+
- разложение по 3-му столбцу.
Пример.
Вычислить
определитель: det A
=
а) путем разложения по строке или столбцу;
б) с использованием его свойств.
разложение по 1-й строке: det A = 1(-4) + 2(-8) + 3(-10) = -4 -16 -30 = -50;
разложение по 3-му столбцу: det A = 3(-10) + 4(-5) + 0(-5) = -30 -20 + 0 = -50.
с использованием его свойств:
det
A =
=
=
=
=
= 1
+ 0 + 0 = - 50
§ 5. Определители 4-го порядка.
A
=
- матрица 4 -го порядка;
- элементы матрицы (i
= 1, … , 4; j = 1, … ,4).
Mij
- минор элемента
- это определитель матрицы 3 -го
порядка, полученной из данной матрицы
4 -го порядка путем вычеркивания
i -той строки и j
- того столбца:
M11
=
M23
=
M42
=
и т.д.
Aij
- алгебраическое дополнение
элемента
:
A11 = M11 , A23 = - M23 , A42 = M42 , A34 = - M34 и т.д.
Правило
(выбора знака):
Пример.
A =
A11
=
=
= 2
+ 0 − 3
= −24 − 51 = −75
A23
= −
=
= − (0 − 1
+ 0) =
= 8 − 0 = 8
A34
= −
=
= −
=
=
= −
=
=
= − (0 − 0 + 1
)
= −
= −24
Теорема. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (или столбца) на их алгебраические дополнения есть величина постоянная:
+
+
+
=
+
+
+
=
=
+
+
+
=
+
+
+
=
=
+
+
+
=
+
+
+
=
=
+
+
+
=
+
+
+
Определитель 4-го порядка - это число, равное сумме произведений элементов какой-нибудь строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:
det
A =
=
+
+
+
, i = 1, 2, 3, 4
или:
det
A =
=
+
+
+
, j = 1, 2, 3, 4
Свойства определителей 4-го порядка - такие же, как и для определителей 2-го и 3-го порядков (свойства 1÷9).
Вычисление определителей 4-го порядка намного упрощается, если разумно применить свойства определителей, например: получить много нулей в какой-нибудь строке или столбце или привести определитель к треугольному виду.
Пример.
det
A =
=
=
=
=
=
=
=
=0 + 0 + 0 + 1
=
=
=
=
=
=
=
=
=
= 0 + 1
+ 0 =
= −
= −(135 + 44) = −179.
§ 6. Определители n-го порядка.
A
=
- матрица n -
го порядка,
- элементы матрицы (i
= 1, 2, …, n; j
= 1, 2, …, n).
Mij
- минор элемента
- это определитель матрицы (n
- 1) - го порядка, полученной из данной
матрицы n - го
порядка путем вычеркивания i
-той строки и j - того
столбца.
Aij
- алгебраическое дополнение
элемента
.
Теорема. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (или столбца) матрицы n - го порядка на их алгебраические дополнения есть величина постоянная:
+
+ … +
=
+
+
+
, i = 1, 2, … , n,
j = 1, 2, …, n.
Определитель n - го порядка - это число, равное сумме произведений элементов какой-нибудь строки (или столбца) матрицы n - го порядка на их алгебраические дополнения:
det
A =
=
+
+ … +
=
+
+
+
,
i = 1, 2, … , n, j = 1, 2, …, n.
Свойства определителей n-го порядка - такие же, как и для определителей 2-го, 3-го и 4-го порядков (свойства 1÷9).
Пример.
Вычислить определитель n
-го порядка: det A
=
.
Ко всем строкам прибавим первую строку, умноженную на (-1):
det A
=
.
Получили определитель треугольной матрицы, который по свойству (9) равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:
det A
= 1(
)(
)
… (
)
= (
)(
)
… (
).
Пример.
Вычислить определитель n
-го порядка: det A
=
.
(Элементы главной диагонали равны нулю, а все остальные элементы равны 1).
Все строки прибавим к первой строке:
det A
=
Из первой строки вынесем общий множитель:
det A
= (
)
Вычтем первую строку из всех остальных строк:
det
A = (
)
=
(
).
Задачи по теме 1.
. Вычислить определители 2-го порядка (довести до числового значения).
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
. Вычислить определители 3-го порядка:
− № 1 ÷ 8 - используя разложение по строке или столбцу;
− № 9 ÷ 16 - используя свойства определителей.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
. Вычислить определители 4-го порядка.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Дополнительные задачи.
1. Найти
многочлен: P(λ)
=
и вычислить его корни.
2. Для
матрицы A =
вычислить:
+
+ … +
и
+
+
+
,
где i ≠ j
(
- алгебраическое дополнение элемента
).
Вычислить определители n -го порядка:
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
= min
{i,j}
12.
= max
{i,j}
2.
М А Т Р И Ц
Ы