§ 1. Деление отрезка в данном отношении.
Пусть точка
M лежит на отрезке
AB и делит его в
отношении
= α : β.
Известны прямоугольные декартовы координаты точек: A(x1; y1; z1), B(x2; y2; z2). Тогда
координаты точки M(x0; y0; z0) вычисляются по формулам:
x0
=
,
y0
=
,
z0
=
.
*
B
M
*
z
α
A
*
y
O
x
В частности, если точка M лежит в середине отрезка AB (α = β = 1), то
x0 =
, y0
=
, z0
=
.
Если ввести обозначение: λ =
(т.е.
= λ), то формулы для координат точки
M запишутся в виде:
x0
=
,
y0
=
,
z0
=
.
Пример.
A(0; -2; 3), B(4; 6; -1), α : β = 3 : 1, M(x0; y0; z0) = ?
x0
=
= 3;
y0
=
= 1;
z0
=
= 0
M(3;
1; 0).
Координаты центра тяжести треугольника.
Центр тяжести треугольника - это точка пересечения медиан треугольника.
B
AK, BL, CN - медианы ABC,
K
N
O
- центр тяжести
ABC
O
A
C
L
Пусть известны прямоугольные декартовы координаты вершин треугольника ABC:
A(x1; y1; z1), B(x2; y2; z2), C(x3; y3; z3). Тогда координаты центра тяжести O(x0; y0; z0) вычисляются
по формулам:
x0
=
,
y0
=
,
z0
=
Пример.
ABC: A(1; 0; -3), B(2; -1; 5), C(0; -5; -2), O(x0; y0; z0) - ?
x0
=
= 1, y0
=
= -2, z0
=
= 0
O(1; -2; 0) - центр тяжести.
§ 2. Вычисление расстояния между двумя точками и угла между двумя векторами.
Расстояние между двумя точками:
d (A; B)
=
.
Пусть известны прямоугольные декартовы координаты точек: A(x1; y1; z1), B(x2; y2; z2). Тогда:
*
B
z
d
.
A
*
d
(A; B)
=
y
O
x
Пример.
Найти стороны a, b, c треугольника ABC, где A(0; -2; 1), B(3; -1; 2), C(1; 3; 0).
a
=
,
b
=
,
c
=
.
B
a
c
A
C
b
,
,
.
=
=
= 2
;
=
=
= 3
;
=
=
a
= 2
;
b
= 3
;
c
=
.
Из определения скалярного произведения
векторов:
=
cos
- получаем
формулу для вычисления косинуса угла между двумя векторами:
cos
=
Пусть известны координаты векторов
и
относительно О.Н.Б. {
}:
,
.
Тогда получим:
Пример.
Найти углы
A,
B,
C треугольника
ABC, где A(0;
-2; 1), B(3; -1; 2), C(1;
3; 0).
a
=
,
b
=
,
c
=
.
B
a
c
,
,
.
a
= 2
;
b
= 3
;
c
=
. 
A
C
b
cos
A =
=
=
=
A =
arccos
66
;
cos
B =
=
=
=
B =
arccos
75,8
;
cos
C =
=
=
=
=
C =
arccos
38,2
.