§ 4. Вычисление модуля, направляющих cos - ов и проекций векторов.
Из свойства
скалярного произведения:
=
- следует формула:
Пусть
известны координаты вектора
в О.Н.Б. {
}:
.
Тогда
= x2 + y2
+ z2 и
Направляющие углы вектора - это углы, которые образует данный вектор с осями координат:
α =
,
β =
,
γ =
.
Косинусы
этих углов - направляющие косинусы
данного вектора: cos α,
cos ,
cos
.
x
=
=
cos
α, y
=
=
cos
, z
=
=
cos
Направляющие косинусы вектора являются координатами орта данного вектора:
=
Пример.
=
=
,
,
.
Из геометрического смысла скалярного произведения имеем:
=
,
=
.
Пусть
известны координаты векторов
и
в О.Н.Б. {
}:
,
.
Тогда:
=
,
=
Пример.
,
.
=
=
=
=
=
=
Задачи по теме 3.
. Построить
вектор
в прямоугольной декартовой системе
координат и указать его направляющие
углы. Найти модуль и направляющие cos-ы
вектора
.
1.
2.
3.
4.
5.
6 .
7.
8 .
9.
10.
11.
12.
.
Даны векторы в прямоугольной декартовой
системе координат:
и
.
Вычислить:
1) скалярное произведение
2) проекции
,
3) векторное произведение
4) площадь параллелограмма, построенного
на этих векторах
1.
,
2.
,
3.
,
4.
,
5.
,
6.
,
7.
,
8.
,
9.
,
10.
,
11.
,
12.
,
. Даны векторы в прямоугольной декартовой системе координат:
,
,
.
Требуется:
1) вычислить
смешанное произведение
2) определить ориентацию этих
векторов
3) найти
объем
параллелепипеда, построенного на этих
векторах
1.
,
,
2.
,
,
3.
,
,
4.
,
,
5.
,
,
6.
,
,
7.
,
,
8.
,
,
9.
,
,
10.
,
,
11.
,
,
12.
,
,
. Даны
векторы
в прямоугольной декартовой системе
координат. Векторы
и
являются линейными комбинациями этих векторов. Определить:
- при каких значениях α и β
векторы
и
будут коллинеарны (№ 1 ÷
4)
- при каких значениях λ векторы
и
будут ортогональны (№ 5
÷ 8)
- при каких значениях λ векторы
,
и
будут компланарны (№ 9 ÷
12)
1.
= 2
+ 4
,
= 3
-
,
,
2.
=
+ 2
,
= 3
-
,
,
3.
= 5
+ 3
,
= 2
-
,
,
4.
= -2
+
,
= 3
- 2
,
,
5.
=
-
,
= 4
+ 2
,
,
6.
=3
- 2
,
= -2
+
,
,
7.
= 2
-
,
= -
+ 3
,
,
8.
= 2
- 3
,
= 2
+
,
,
9.
,
,
10.
,
,
11.
,
,
12.
,
,
Дополнительные задачи.
1.
Прямоугольная декартова система
координат OXY
на плоскости получена из прямоугольной
декартовой системы координат OXY
параллельным переносом на вектор
.
Произвольная точка M
на плоскости имеет координаты (x,
y) в одной системе
координат и (x,
y)
- в другой системе координат. Найти связь
между этими координатами.
,
M(x, y),
M(x,
y)
2. Прямоугольная декартова система координат OXY на плоскости получена из прямоугольной декартовой системы координат OXY путем поворота осей на угол . Произвольная точка M на плоскости имеет координаты (x, y) в одной системе координат и (x, y) - в другой системе координат. Найти связь между этими координатами.
,
M(x, y),
M(x,
y)
3. Даны
векторы в прямоугольной декартовой
системе координат:
,
,
.
Найти координаты вектора
,
если известно, что
= -5,
= -11,
= 20.
4. Даны
векторы в прямоугольной декартовой
системе координат:
,
.
Найти координаты вектора
,
если известно, что
,
,
= 14.
4.
Геометрические
задачи.