§ 3. Векторное произведение векторов и его свойства.
Ориентация тройки векторов.
Упорядоченная
тройка некомпланарных векторов
,
,
имеющих общее начало, называется правой
тройкой, если поворот от вектора
к вектору
виден из конца вектора
совершающимся против часовой
стрелки.
Упорядоченная тройка некомпланарных
векторов
,
,
имеющих общее начало, называется левой
тройкой, если поворот от вектора
к вектору
виден из конца вектора
совершающимся по часовой стрелке.
правая тройка левая тройка
Векторным произведением векторов
и
называется вектор
,
удовлетворяющий следующим трем условиям:
1.
,
2. тройка векторов
,
- правая тройка
3.
=
sin
Обозначение:
=
Геометрический смысл векторного произведения.
Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах:
=
1.
= -
(антикоммутативность)
2. (λ
)
= λ(
)
(ассоциативность относительно
умножения на число)
3.
(
+
)
=
+
(дистрибутивность)
4.
=
(векторный
квадрат)
5.
=
(условие коллинеарности
векторов)
Пример.
Найти
площадь параллелограмма,
построенного на векторах
и
,
если
=
- 3
,
= 2
+
,
= 2,
= 3,
=
.
=
;
= (
- 3
)
(2
+
)
= 2
- 6
+
-3
= 7
;
= 7
= 723
= 21
= 21.
Пример.
Определить, при каких значениях α
и β векторы
и
будут коллинеарны:
=
+ 2
,
=
-
,
,
=
(
+ 2
)
(
-
)
=
(
+ 2
)
(
-
)
=
-
+ 2
- 2
=
-
+
+ 2
= 3
;
3
=
=
rang
= 1
=
=
= 0
.
§ 4. Смешанное произведение векторов и его свойства.
Дана тройка векторов
,
,
.
Смешанным произведением
,
,
называется число, равное скалярному
произведению вектора
на вектор
.
Обозначение:
.
= (
)
Геометрический смысл смешанного произведения.
Модуль смешанного произведения равен
объему параллелепипеда, построенного
на этих векторах:
=
1.
Смешанное произведение векторов
,
,
не меняется при циклической перестановке
множителей:
=
=
2.
Смешанное произведение векторов
,
,
меняет знак при перестановке двух
множителей:
= -
,
= -
,
= -
3. Необходимым и достаточным условием компланарности векторов является равенство нулю их смешанного произведения:
,
,
- компланарны
= 0
4.
> 0
,
,
- правая тройка;
< 0
,
,
- левая тройка
Пример.
Найти
объем параллелепипеда, построенного
на векторах
,
,
,
если
= 2,
= 3,
= 4, α =
=
, β =
=
, γ =
=
.
- угол между векторами
и
=
=
= 2314
cos
= 24
;
cos
2
+ cos 2
β + cos
2
γ = 1
cos 2
= 1- cos 2
β - cos 2
γ = 1 -
-
=
=
.
= 24
= 12.
Задачи по теме 2.
.
Даны векторы
.
Известны модули этих векторов и
углы между ними:
p
=
,
q =
,
r =
,
α =
,
β =
,
γ =
.
Вектор
является линейной
комбинацией
векторов
.
Найти модуль вектора
.
1.
= 2
- 3
,
p = 1, q = 2, α =
2.
=
+ 2
,
p = 3, r = 1, β =
3.
= 2
-
,
q = 4, r = 2, γ =
4.
=
- 2
,
p = 2, q = 1, α =
5.
=
+ 2
-
,
p = 1, q = 1, r = 2, α =
, β =
, γ =
6.
= 2
-
+
,
p = 1, q = 2, r = 1, α =
, β =
, γ =
7.
=
+ 2
+
,
p = 3, q = 1, r = 2, α =
, β =
, γ =
8.
= 2
-
-
,
p = 1, q = 2, r = 3, α =
, β =
, γ =
.
Даны единичные векторы
и угол между ними
α =
.
Векторы
и
являются
линейными комбинациями векторов
.
На векторах
и
построен
параллелограмм. Найти площадь S этого параллелограмма и длины его диагоналей d1 и d2.
d1
d2
1.
=
+ 3
,
= 3
-
,
α =
2.
= 3
+
,
=
-
,
α =
3.
=
- 2
,
=
+4
,
α =
4.
=
+ 3
,
=
- 5
,
α =
5.
= 2
-
,
=
+ 3
,
α =
6.
= 3
+
,
=
- 5
,
α =
7.
=
- 4
,
= 3
+ 2
,
α =
8.
=
+ 4
,
=
- 2
,
α =
.
Найти объем параллелепипеда,
построенного на векторах
,
,
,
если известны модули этих векторов и
углы между ними:
= a,
= b,
= c, α
=
,
β =
,
γ =
.
1.
a = 1,
b =
2, c
=
3,
α =
, β =
, γ =
2.
a = 2,
b =
2, c
=
3,
α =
, β =
, γ =
3.
a = 1,
b =
2, c
=
4,
α =
, β =
, γ =
4.
a = 2,
b =
1, c
=
2,
α =
, β =
, γ =
5.
a = 3,
b =
2, c
=
2,
α =
, β =
, γ =
6.
a = 2,
b =
3, c
=
3,
α =
, β =
, γ =
7.
a = 1,
b =
2, c
=
4,
α =
, β =
, γ =
8.
a = 2,
b =
3, c
=
2,
α =
, β =
, γ =
Дополнительные задачи.
1. В квадрат ABCD со стороной a вписана окружность. Точка M - произвольная точка этой окружности. Найти сумму MA2 + MB2 + MC2 + MD2.
2. Около квадрата ABCD со стороной a описана окружность. Точка M - произвольная точка этой окружности. Найти сумму MA2 + MB2 + MC2 + MD2.
3. В куб со стороной a вписана сфера. Точка M - произвольная точка этой сферы. Найти сумму квадратов расстояний от точки M до вершин куба.
4. Найти
отношение объема тетраэдра, построенного
на некомпланарных векторах
,
,
,
к объему тетраэдра, построенного на
векторах
+
,
,
.
3.
Прямоугольная
декартова система координат.