§ 1. Проекция вектора на ось и ее свойства.
Ось
- это прямая, на которой:
а) задан орт
(т.е. указано направление и выбран
масштаб),
б) отмечено начало отсчета (точка О). 
1
1
1
1
Пусть
точка A1 - проекция
точки A на ось
,
B1 - проекция точки
B на ось
(основания перпендикуляров, опущенных
соответственно из точек A
и B на ось
).
Компонентой
вектора
вдоль оси
называется вектор
,
где A1 - проекция
точки
A
на ось
,
B1 - проекция точки
B на ось
.
Проекцией
вектора
на ось
называется число, равное
,
взятому со знаком «+», если компонента
одинаково направлена с ортом
и взятому со знаком «-», если компонента
противоположно направлена с ортом
:
=
Из
этого определения следует равенство:
Теорема. Пусть
=
,
- угол между вектором
и осью
.
Тогда
1.
+
)
=
+
2.
= λ
3.
= 0
§ 2. Скалярное произведение векторов и его свойства.
Скалярным
произведением векторов
и
называется число, равное произведению
модулей этих векторов на косинус угла
между ними. Обозначение:
.
=
cos
Геометрический смысл скалярного произведения:
=
=
=
,
=
Если
- орт
некоторой оси
,
то
=
Проекция вектора на ось равна скалярному произведению этого вектора на орт этой оси.
1.
=
(коммутативность)
2. (λ
)
= λ(
)
(ассоциативность
относительно умножения на число)
3.
(
+
)
=
+
(дистрибутивность)
4.
=
(скалярный квадрат)
5.
= 0 (условие ортогональности
векторов)
6.
> 0
- острый угол;
< 0
- тупой угол
Пример.
Найти модуль вектора
,
если известно:
= 2
-
+
,
= 2 ,
= 3,
= 4,
=
,
=
,
=
.
=
= (2
-
+
)(2
-
+
)
= 4
- 2
+ 2
- 2
+
-
+ 2
-
+
=
=
4
- 4
+ 4
-2
+
+
= 422
- 423
+ 4240
- 234
+ 33 +
44 =
= 16 + 12 + 0 -
12
+ 9 + 16 = 53 - 12
=
.
Пример.
Найти длины
его диагоналей d1
и d2 параллелограмма,
построенного на векторах
и
,
если
=
- 3
,
= 2
+
,
= 2,
= 3,
=
.
d1
d2
d1
=
,
d2 =
;
= 3
- 2
,
= -
- 4
;
d12
= (3
- 2
)(
)
= 9
- 12
+ 4
= 922
- 12230,5
+ 433
= 36 d1
= 6.
d22
= (-
- 4
)(-
)
=
+ 8
+ 16
= 22 + 8230,5
+ 1633
= 172 d2
=
.
Теорема косинусов.
В произвольном треугольнике квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
a2
= b2
+ c2
- 2bc
cos
A, b2
= a2
+ c2
- 2ac
cos
B, c2
= a2
+ b2
- 2ab
cos
C.
Доказательство.
=
-
,
+
=
,
+
=
a =
=
,
b
=
=
,
c
=
=
a2
=
2
=
= (
-
)(
-
)
=
- 2
+
=
=
2
- 2
cos
A +
2
= b2
+ c2
- 2bc
cos
A.
Аналогично выводятся остальные формулы.
Следствием теоремы косинусов является
теорема Пифагора (если
C = 90
,
то cos
C = 0
и c2 = a2 + b2).
Теорема Пифагора.
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.