§ 4. Разложение вектора по базису.
Запись
вида:
= 𝛌1
+
𝛌2
+
…+ 𝛌n
,
где 𝛌1,
𝛌2,
… , 𝛌n
- некоторые действительные
числа,
называется разложением
вектора
по векторам
,
,
…,
.
Теорема (разложение по базису).
1). Пусть
- базис пространства V1.
Тогда любой вектор
V1
можно единственным
образом
разложить по базису:
= λ
.
2). Пусть
,
- базис пространства V2.
Тогда любой вектор
V2
можно
единственным образом разложить по
базису:
= λ1
+
λ2
.
3). Пусть
,
,
- базис пространства V3.
Тогда любой вектор
V3
можно
единственным образом разложить по
базису:
= λ1
+ λ2
+ λ3
.
Коэффициенты при базисных векторах называются координатами вектора относительно
данного базиса.
= λ
- координата вектора
относительно базиса {
};
= λ1
+
λ2
- координаты вектора
относительно базиса {
,
};
= λ1
+ λ2
+ λ3
- координаты вектора
относительно базиса {
,
,
}.
Пример.
V1:
= (-3)
;
V2:
= 2
+
5
;
V3:
=
- 2
.
Теорема. (линейные действия с векторами в координатах).
При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число;
при сложении (вычитании) векторов их координаты складываются (вычитаются):
λ
;
,
+
,
.
Условие коллинеарности векторов в координатной форме.
Векторы
и
коллинеарны тогда и только тогда,
когда их
координаты пропорциональны:
Следствие.
= 0
rang
= 1
=
=
= 0
Пример.
,
rang
= 2 ≠ 1
;
,
rang
= 1
Пример.
Доказать, что
- базис на плоскости и разложить вектор
по этому базису:
,
,
.
Построить заданные
векторы в ортонормированном базисе.
= -5 ≠ 0
- базис на плоскости.
= λ1
+
λ2
= λ1
+
λ2
=
+
=
=
-
-
Условие компланарности векторов в координатной форме.
Векторы
,
и
компланарны тогда и только тогда,
когда определитель матрицы, строки которой - координаты этих векторов, равен нулю:
,
,
- компланарны
=
0
Пример.
Доказать, что
- базис в пространстве и разложить вектор
по
этому
базису:
,
,
,
.
=
=
= -5 ≠ 0
- базис в пространстве.
= λ1
+ λ2
+ λ3
= λ1
+ λ2
+ λ3
= {0; λ1; 3λ1} + {- λ2;
0; 2λ2} + {λ3; 3λ3;
2λ3}
= {- λ2 + λ3; λ1+3λ3;
3λ1 +2λ2+2λ3}
=
2
3
1
Задачи по теме 1.
. Дан параллелограмм ABCD. Точки K, L, M, N - середины сторон параллелограмма,
=
,
=
.
Найти координаты вектора
в базисе
.
B
C
L
*
K
M
*
*
A
D
N
*
1.
=
2.
=
3.
=
4.
=
5.
=
6.
=
7.
=
8.
=
9.
=
10.
=
11.
=
12.
=
.
Дан параллелепипед ABCD
A1B1C1D1.
Точка K - центр грани
ABA1B1,
точка L - центр грани ABCD, точка M - центр грани AA1DD1, точка N - центр грани A1B1C1D1,
точка P
- центр грани BB1CC1,
точка Q - центр грани
CDC1D1,
=
,
=
,
=
.
Найти
координаты вектора
в базисе
.
A1
C1
D1
B1
C
A
B
DD
1.
=
2.
=
3.
=
4.
=
5.
=
6.
=
7.
=
8.
=
9.
=
10.
=
11.
=
12.
=
13.
=
14.
=
15.
=
16.
=
. Доказать,
что
- базис на плоскости и разложить вектор
по этому базису. Построить заданные
векторы в ортонормированном базисе.
1.
,
,
2.
,
,
3.
,
,
4.
,
,
5.
,
,
6.
,
,
Доказать, что
- базис в пространстве и разложить вектор
по этому базису.
7.
,
,
,
8.
,
,
,
9.
,
,
,
10.
,
,
,
11.
,
,
,
12.
,
,
,
Дополнительные задачи.
1. В
правильном 5-угольнике ABCDE
=
,
=
.
Разложить
вектор
по базису
.
C
B
D
A
E
2. В
правильном 5-угольнике ABCDE
=
,
=
.
Разложить
векторы
и
по базису
.
C
B
D
A
E
3. Точка
О - центр тяжести
ABC. Найти
+
+
.
B
O
A
C
4. Дана
пирамида ABCD,
=
,
=
,
=
.
Точка О - центр тяжести
ABC.
Разложить
вектор
по базису
.
D
B
A
C
O
2.
Умножение
векторов.