§ 4. Основные виды уравнений прямой на плоскости Параметрические и каноническое уравнения

Пусть на плоскости заданы точка и вектор , тогда на этой плоскости существует единственная прямая , проходящая через точку параллельно вектору. Запишем её уравнения по аналогии с соответствующими уравнениями прямой в пространстве (см. § 3):

, –

векторные параметрические уравнения;

–

параметрические уравнения прямой на плоскости;

–

каноническое уравнение прямой на плоскости. Следует помнить, что в этих уравнениях – координаты некоторой фиксированной точки на заданной прямой, а – координаты её направляющего вектора.

Общее уравнение прямой на плоскости

Нормальным вектором прямой на плоскости называют любой ненулевой вектор этой плоскости, перпендикулярный заданной прямой.

Пусть на плоскости заданы точка и вектор . Тогда на этой плоскости существует единственная прямая , проходящая через точку перпендикулярно вектору . Её уравнения записываются по аналогии с уравнениями плоскости (см. § 2):

, , –

общие уравнения прямой на плоскости в векторной форме.

Если , , ,, получаем следующие уравнения прямой на плоскости:

и

, (1)

причем . Уравнение (1) называется общим уравнением прямой на плоскости. Как и для плоскости, в общем уравнении прямой на плоскости коэффициенты при неизвестных – координаты нормального вектора этой прямой.

Теорема. Если на плоскости задана прямоугольная декартова система координат, то всякая прямая на этой плоскости может быть задана уравнением первой степени. Обратно: всякое уравнение первой степени в прямоугольной декартовой ортонормированной системе координат на плоскости задает прямую.

Доказывается так же, как и аналогичная теорема для плоскости.

Запишем еще известные со школы уравнения прямой на плоскости:

если задана какая-либо точка прямой на плоскости и ее угловой коэффициент , то уравнение этой прямой имеет вид , или .

Вывод: чтобы составить уравнение прямой на плоскости надо знать какую-нибудь её точку и либо нормальный вектор прямой, либо направляющий вектор, либо угловой коэффициент.

§ 5. Взаимное расположение плоскостей. Взаимное расположение прямых на плоскоси

Пусть заданы две плоскости и соответственно уравнениями и . Если эти плоскости пересекаются, то их нормальные векторы неколлинеарны. Если же плоскости параллельны или совпадают, то их нормальные векторы и коллинеарны. Одним из критериев коллинеарности является условие пропорциональности координат. Это значит, если , то

. (1)

Пусть условие (1) выполняется, и пусть точка , т.е. . Тогда:

.

Таким образом, доказана следующая

Теорема. Для того чтобы две плоскости совпадали, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при неизвестных и свободные члены в их общих уравнениях были пропорциональными. Для того чтобы две плоскости были параллельными, но не совпадали, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при неизвестных в их общих уравнениях были пропорциональными, а свободные члены – им не пропорциональными. Для того чтобы две плоскости пересекались, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при неизвестных в их общих уравнениях не были пропорциональными.

Точно так же доказывается и

Теорема. Для того чтобы две прямые на плоскости совпадали, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при неизвестных и свободные члены в их общих уравнениях были пропорциональными. Для того чтобы две прямые на плоскости были параллельными, но не совпадали, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при неизвестных в их общих уравнениях были пропорциональными, а свободные члены – им не пропорциональными. Для того чтобы две прямые на плоскости пересекались, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при неизвестных в их общих уравнениях не были пропорциональными.