Глава 2. Прямые и плоскости

§ 1 Уравнения множества точек

В этой главе будем считать, что на плоскости или в пространстве задана прямоугольная декартова система координат.

Определение. Уравнение

(1)

называется уравнением множества Φ точек плоскости, если координаты каждой точки удовлетворяют уравнению (1) и обратно, если каждая точка плоскости, координаты которой удовлетворяют (1), принадлежит Ф.

Например, уравнение является уравнением окружности единичного радиуса с центром в начале координат. Уравнение

задает ту же окружность, так как ему удовлетворяют все ее точки и только они. А вот уравнение не будет уравнением этой окружности, т.к. ему удовлетворяют ещё и другие точки, например, . Уравнение также не является уравнением рассматриваемой окружности, т.к. на ней есть точки (например, ), которые этому уравнению не удовлетворяют.

Аналогично определяется уравнение пространственного множества точек.

Определения. Уравнение (или ) называется векторным уравнением множества Ф, если радиус-вектор каждой точки удовлетворяет этому уравнению и обратно, если каждая точка, чей радиус-вектор удовлетворяет уравнению, принадлежит Ф.

Уравнение называется векторным параметрическим уравнением множества Ф, если : и обратно, если такое, что .

Уравнения

,

называются параметрическими уравнениями множества Ф, если точка и обратно, если такое, что , , .

Вывод. Для того чтобы составить уравнения какого-то множества точек, следует придумать условие, которому удовлетворяют все точки этого множества и только они, и записать это условие в векторном виде, либо в координатах.

§2 Основные виды уравнений плоскости Общее уравнение плоскости

Нормальным вектором плоскости называется любой ненулевой вектор, перпендикулярный этой плоскости.

Если в пространстве заданы ненулевой вектор и точка , то в пространстве существует единственная плоскость P, проходящая через перпендикулярно вектору . Составим ее уравнение (см. рис.2.1).

. На основании критерия перпендику-

Рис.2.1. лярности получаем уравнения плоскости:

, (1')

,

(1)

(здесь ).

У

O

равнения (1') и (1) называются общими уравнениями плоскости в векторной форме.

Запишем теперь эти уравнения в координатах. Пусть , , . Так как вектор ненулевой, то

. (2)

Из (1') получаем:

. (3)

Если обозначить , то уравнение (3) примет вид:

. (4)

Уравнение (4) называется общим уравнением плоскости. Следует помнить, что в общем уравнении плоскости коэффициенты при неизвестных – это координаты нормального вектора.

Определение. Уравнение (4) с условием (2) называется уравнением первой степени.

Теорема. Если в пространстве задана прямоугольная декартова система координат, то всякая плоскость может быть задана уравнением первой степени. Обратно: всякое уравнение первой степени в прямоугольной декартовой системе координат в пространстве задает плоскость.

►Первое утверждение уже доказано. Докажем обратное. Пусть задано уравнение (4) с условием (2) и пусть, например, . По заданному уравнению (4) выберем вектор , точку , и составим уравнение плоскости Р, проходящей через точку перпендикулярно вектору , используя (3):

.

Полученное уравнение, очевидно, совпадает с уравнением (4). Таким образом, плоскость Р и есть искомая.◄