§ 7. Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы

Теорема. Лучи света, выходящий из одного фокуса эллипса, после отражения от эллипса проходят через другой его фокус (рис. 3.16).

Л

Рис. 1.

Рис. 2.

учи света, выходящие из фокуса параболы, после отражения от неё образуют пучок лучей, параллельных оси параболы (рис. 3.17).

Л учи света, выходящие из одного фокуса гиперболы, после отражения от гиперболы кажутся выходящими из другого её фокуса (рис. 3.18).

►Для гиперболы. Покажем, что нормаль к гиперболе в ее точке образует одинаковые углы с лучом, выходящим из правого фокуса, и с лучом, кажущимся выходящим из левого фокуса. Обозначим (рис. 3.17). Согласно (4) § 6 . Так как , то , .Тогда:

, (1)

. (2)

С равнивая (1) и (2) и учитывая, что оба угла и находятся в пределах от 0 до , получаем, что = .

Для параболы. Обозначим , (рис. 3.18). На основании (6) § 6 . Тогда и

, (5)

. (6)

Сравнивая (5) и (6), опять же получаем, что .

Для эллипса оптическое свойство до- Рис. 3.18 казывается точно так же, как и для гиперболы, поэтому вы можете сделать это самостоятельно в качестве упражнения. ◄

Рис.5.

§ 8. Линии второго порядка

Будем считать, что на плоскости задана прямоугольная декартова система координат.

Уравнением второй степени с двумя неизвестными называется уравнение вида

,

в котором .

Уравнение второй степени называется каноническим, если оно удовлетворяет следующим условиям:

1. не содержит произведения переменных ( при );

2. если содержит квадрат какой-либо переменной, то не содержит её первой степени ( => );

3. если содержит первую степень, то только одной переменной, и тогда свободный член равен нулю ( => );

4. если свободный член не равен нулю, то он равен 1 или -1.

Линией второго порядка называется множество точек плоскости, удовлетворяющих какому-либо уравнению 2-й степени.

Теорема. Для любой линии второго 2-го порядка на плоскости существует прямоугольная декартова система координат, в которой эта линия задаётся каноническим уравнением.

Эту теорему мы докажем позже, в разделе «Линейная алгебра», а сейчас на основании ее мы перечислим все возможные типы линий второго порядка:

	эллипс;
	мнимый эллипс;
	точка О(0; 0);
	гипербола;
	пара пересекающихся прямых;
	парабола;
	пара параллельных прямых;
	сдвоенная прямая;
	пара мнимых параллельных прямых.

47