- •Глава 3. Линии второго порядка § 1. Гипербола
- •Вывод канонического уравнения
- •Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению
- •§ 2. Эллипс
- •Вывод канонического уравнения
- •Исследование формы эллипса по его каноническому уравнению
- •Параметрические уравнения эллипса
- •§ 3. Парабола
- •Вывод канонического уравнения
- •§ 4. Эксцентриситет и директрисы эллипса и гиперболы
- •§ 5. Полярные уравнения эллипса, гиперболы и параболы Полярная система координат
- •Вывод полярных уравнений
- •§ 6. Касательные к эллипсу, гиперболе, параболе
- •§ 7. Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы
- •§ 8. Линии второго порядка
§ 7. Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы
Теорема. Лучи света, выходящий из одного фокуса эллипса, после отражения от эллипса проходят через другой его фокус (рис. 3.16).
Л
Рис. 1.
Рис. 2.
Л учи света, выходящие из одного фокуса гиперболы, после отражения от гиперболы кажутся выходящими из другого её фокуса (рис. 3.18).
►Для гиперболы. Покажем, что нормаль к гиперболе в ее точке образует одинаковые углы с лучом, выходящим из правого фокуса, и с лучом, кажущимся выходящим из левого фокуса. Обозначим (рис. 3.17). Согласно (4) § 6 . Так как , то , .Тогда:
, (1)
. (2)
С равнивая (1) и (2) и учитывая, что оба угла и находятся в пределах от 0 до , получаем, что = .
Для параболы. Обозначим , (рис. 3.18). На основании (6) § 6 . Тогда и
, (5)
. (6)
Сравнивая (5) и (6), опять же получаем, что .
Для эллипса оптическое свойство до- Рис. 3.18 казывается точно так же, как и для гиперболы, поэтому вы можете сделать это самостоятельно в качестве упражнения. ◄
Рис.5.
§ 8. Линии второго порядка
Будем считать, что на плоскости задана прямоугольная декартова система координат.
Уравнением второй степени с двумя неизвестными называется уравнение вида
,
в котором .
Уравнение второй степени называется каноническим, если оно удовлетворяет следующим условиям:
-
не содержит произведения переменных ( при );
-
если содержит квадрат какой-либо переменной, то не содержит её первой степени ( => );
-
если содержит первую степень, то только одной переменной, и тогда свободный член равен нулю ( => );
-
если свободный член не равен нулю, то он равен 1 или -1.
Линией второго порядка называется множество точек плоскости, удовлетворяющих какому-либо уравнению 2-й степени.
Теорема. Для любой линии второго 2-го порядка на плоскости существует прямоугольная декартова система координат, в которой эта линия задаётся каноническим уравнением.
Эту теорему мы докажем позже, в разделе «Линейная алгебра», а сейчас на основании ее мы перечислим все возможные типы линий второго порядка:
эллипс; |
|
мнимый эллипс; |
|
точка О(0; 0); |
|
гипербола; |
|
|
пара пересекающихся прямых; |
парабола; |
|
|
пара параллельных прямых; |
сдвоенная прямая; |
|
пара мнимых параллельных прямых. |