§ 2. Эллипс

Определение. Пусть на плоскости заданы две точки F₁ и F₂, расстояние между которыми равно 2c. Пусть, кроме того, задано число a, большее c. Эллипсом называется множество точек той же плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до точек F₁ и F₂, называемых фокусами эллипса, есть число постоянное, равное 2а.

Вывод канонического уравнения

Для вывода канонического уравнения эллипса выберем на плоскости следующую прямоугольную декартову систему координат: ось проведем через фокусы эллипса, а ось – перпендикулярно ей через середину отрезка F₁F₂ (рис. 3.4). По определению эллипсу удовлетворяют те, и только те точки М плоскости, для которых

. (1)

Чтобы получить уравнение эллипса следует записать равенство (1) в координатах. В выбранной системе координат фокусы эллипса имеют следующие координаты: F₁ (–c; 0); F₂ (c; 0). Произвольную (или текущую) точку множества опять обозначаем M(x; y). Так как

, ,

то уравнение (1) равносильно следующему:

, (2)

которое, в свою очередь, равносильно

Рис. 3.4 уравнению:

. (3)

Оба эти уравнения являются уравнениями эллипса, но мы преобразуем их к более простому виду. Проведем следующую цепочку преобразований:

(3)

.

Учитывая, что , разделив последнее уравнение на , получаем:

. (4')

Так как , то , поэтому найдется такое положительное число , что . Теперь уравнение (4') примет вид:

. (4)

Мы доказали: если точка принадлежит эллипсу, то её координаты удовлетворяют уравнению (3) или (4).

Докажем обратное: если координаты точки удовлетворяют уравнению (4) или (3), то она принадлежит эллипсу. Итак,

{M (x; y) удовлетворяет (4)}

. (5)

Аналогично получаем:

. (6)

Находим сумму расстояний:

[(4) ]=.

Таким образом, (4) – уравнение эллипса, которое и называется его каноническим уравнением.

Исследование формы эллипса по его каноническому уравнению

1. Из (4) вытекает: если точка M(x; y) принадлежит эллипсу, то , т.е. эллипс полностью лежит внутри этого прямоугольника.

2. Так же как и гипербола, эллипс симметричен относительно обеих координатных осей и относительно начала координат. Оси симметрии эллипса называются осями эллипса, центр симметрии – его центром.

3

x

. Если y = 0, то из (1) следует, что x = a, если же x = 0, то y = b. Таким образом, эллипс пересекает обе координатные оси: ось в точках A₁(–a; 0), A₂(a; 0), а ось

Рис. 3.5. – в точках B₁(0; –b), B₂(0; b). Эти точки называются вершинами эллипса Числа а и b называются полуосями эллипса, большой и малой соответственно.

4

y

. В силу симметрии эллипса его можно вначале нарисовать только в первой четверти, а затем продолжить по симметрии. Если , то из (4) получаем: . Найдем производную:

y

.

при , поэтому функция убывает на отрезке . Так как и , то в точке пересечения эллипса с осью он имеет горизонтальную касательную, а в точке пересечения с осью – вертикальную. Так же, как и у гиперболы, фокусы эллипса находятся в точках F₁ (–c; 0) F₂ (c; 0). Теперь уже можно эллипс изобразить (см. рис. 3.5).

Замечание. Уравнение (4) задаёт эллипс, фокусы которого лежат на оси абсцисс при , и лежат на оси ординат при . Если же , то (4) – уравнение окружности радиуса с центром в начале координат. В этом случае c = 0. Таким образом, окружность – это частный случай эллипса с совпадающими фокусами.