
- •Глава 4. Поверхности второго порядка
- •Классификация поверхностей 2-го порядка
- •§1. Эллиптический, гиперболический и параболический цилиндры
- •§2. Конус второго порядка
- •§3. Однополостный гиперболоид
- •§4. Двуполостный гиперболоид
- •§ 5. Эллиптический параболоид
- •§ 6. Гиперболический параболоид
- •§ 7. Эллипсоид
§ 5. Эллиптический параболоид
Эллиптический параболоид – это поверхность, заданная каноническим уравнением
.
(1)
Эллиптический
параболоид симметричен относительно
координатных плоскостей
и
,
а относительно плоскости
симметрии не имеет. Если его пересечь
плоскостью
,
то увидим, что при
плоскость
не пересекается с эллиптическим
параболоидом, при
в сечении получается единственная точка
– начало координат, которая называется
вершиной эллиптического параболоида
(1), а при
линией пересечения является эллипс с
полуосями
.
Таким образом, и эллиптический параболоид
состоит из расширяющихся эллипсов.
Пересечём теперь
эту поверхность плоскостью
.
В сечении получаем кривую, проекция
которой на плоскость
задается уравнением
,
которое после преобразований принимает вид:
.
(2) Из (2) видно, что
плоскости, параллельные плоскости
,
пересекают поверхность эллиптического
параболоида по параболам, имеющим
одинаковые фокальные параметры (т.е.,
по конгруэнтным параболам), ветви которых
направлены в сторону положительного
направления оси
,
причём с ростом
вершина параболы смещается вверх. На
рис. 4.9 изображены проекции этих парабол
на плоскость
.
Такую же картинку имеем и при пересечении
плоскостями
.
Уравнения проекций линий пересечения
на плоскость
:
,
П
Рис. 3
изображены на рис. 4.10, сам же эллиптический
параболоид – на рис. 4.11. При
эллиптический параболоид называется
параболоидом вращения.
§ 6. Гиперболический параболоид
Гиперболическим параболоидом мы назвали поверхность, каноническое уравнение которой выглядит так:
.
Гиперболический
параболоид, так же, как и эллиптический,
симметричен относительно координатных
плоскостей
и
,
а относительно плоскости
не имеет симметрии.
Пересечём эту
поверхность плоскостью
.
В сечении получаем кривую, заданную
уравнением:
.
Из него мы видим,
что плоскости, параллельные плоскости
,
пересекают поверхность гиперболического
параболоида по параболам, имеющим
одинаковые фокальные параметры (т.е.,
по конгруэнтным параболам), их ветви
направлены в сторону отрицательного
направления оси
,
причём с ростом
вершина параболы смещается вверх. На
рис. 4.12 изображены проекции этих парабол
на плоскость
.
Если же пересечь гиперболический
параболоид плоскостями
,
то в сечениях получаем кривые
,
т
.е.
опять конгруэнтные параболы, но их ветви
направлены в сторону положительного
направления оси
,
а с ростом
вершина параболы смещается вниз. При
проектировании их на плоскость
получаем картинку, изображённую на рис.
4.13.
Теперь пересечём
гиперболический параболоид плоскостью
.
В сечении получается кривая, заданная
уравнением
.
(1)
При
это уравнение задаёт пару пересекающихся
прямых
.
(2)
Е
сли
,
то плоскость
пересекает гиперболический параболоид
по гиперболам
,
а
симптотами
которых являются прямые (2), действительной
осью – ось
,
причём с ростом
вершины этих гипербол удаляются от
центра (от оси
).
Если же
,
то уравнение (1) задаёт гиперболы
с теми же самыми
асимптотами, но с осью
в качестве действительной. Проекции
линий пересечения гиперболического
параболоида плоскостями
на плоскость
изображены на рис. 4.14, а сам гиперболический
параболоид – на рис. 4.15.
Эта поверхность напоминает седло, часто
её так и называют.