§ 11. Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Определение 29. Функцию f (x) будем считать специальной, если она представляет собой многочлен, или показательную функцию или тригонометрическую функцию sin x или cos x, или линейную комбинацию перечисленных функций.
у + р у + q y = f (x) (13)
Т е о р е м а 5. (об
общем решении уравнения
(13)):
Общее решение уравнения (11) представляет
собой сумму любого его частного решения
и общего решения у0
соответствующего однородного уравнения,
т. е.
Доказательство.
Пусть
частное решение
уравнения
(13), а
у0 = С1 у1 (х) + С2 у2 (х)
общее решение уравнения (11).
Покажем, что
решение уравнения (13). Для этого найдем
,
и подставим в (13)
Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые
,
следовательно,
решение уравнения (13).
Покажем теперь, что оно является общим решением уравнения (13).
Для этого возьмем
любое решение у
уравнения (13) и рассмотрим разность
.
Эта разность является решением уравнения
(11). Действительно,
,
следовательно,
может быть записана в виде
где
определенные значения постоянных С1
и С2.
Итак, любое решение
у
уравнения (13) получается из формулы
при соответствующем подборе произвольных
постоянных С1
и С2,
т. е. функция
общее решение уравнения (1).
Итак, чтобы найти общее решение уравнения (13) надо найти общее решение соответствующего однородного уравнения и какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения, вид которого зависит от вида правой части f (x) этого уравнения.
Частное решение неоднородного уравнения может быть найдено по методу неопределенных коэффициентов:
1. по виду правой части уравнения (13) записывается форма частного решения с неопределенными коэффициентами;
2. затем таким образом сформированное частное решение подставляется в дифференциальное уравнение (13);
3. из полученного тождества определяются значения коэффициентов.
Запишем виды частных решений уравнения (13) для различных правых частей в виде таблицы.
Виды частных решений для различных правых частей линейных неоднородных дифференциальных уравнений
у + р у + q y = f (x)
|
Правая часть f (x) |
Корни характеристического уравнения k2+ pk + q = 0 |
Вид частного
решения
|
|
1. Рn(x) |
k1, 2 0 |
Qn(x) |
|
k1 = 0, k2 0 |
xQn(x) |
|
|
k1, 2 = 0 |
x2Qn(x) Qn(x) – многочлен степени п с неопределенными коэффициентами. |
|
|
2. аex |
k1, 2 |
Aex |
|
k1 = , k2 |
Axex |
|
|
k1, 2 = |
Ax2ex |
|
|
3. exPn(x) |
k1, 2 |
exQn(x) |
|
k1 = , k2 |
xexQn(x) |
|
|
k1, 2 = |
x2exQn(x) Qn(x) – многочлен степени п с неопределенными коэффициентами. |
|
|
4. а∙cos x а∙sin x а∙cos x + b sin x |
k1, 2 ± i∙ |
А cos x + В sin x |
|
k1, 2 = ± i∙ |
(А cos x + В sin x)∙ х, А, В – неопределенные коэффициенты. |
|
|
5. Pn(x) cos x Pn(x) sin x Pn(x) (cos x + sin x) |
k1, 2 ± i∙ |
Rn(x)cos x+Sn(x)sin x |
|
k1, 2 = ± i∙ |
x(Rn(x)cos x+Sn(x)sin x) Qn(x) – многочлен степени п с неопределенными коэффициентами. |
|
|
6. ex cos x ex sin x ex (a cos x + b sin x) |
k1, 2 ± i∙ |
ex(А cos x + В sin x) |
|
k1, 2 = ± i∙ |
ex х (А cos x + В sin x) А, В – неопределенные коэффициенты. |
|
|
7. ex Pn(x) cos x ex Pn(x) sin x ex Pn(x) (cos x + sin x) |
k1, 2 ± i∙
|
ex(Rn(x)cos x+Sn(x)sin x) |
|
k1, 2 = ± i∙ |
xex(Rn(x)cos x+Sn(x)sin x) Qn(x) – многочлен степени п с неопределенными коэффициентами. |
|
|
8. ex(Pn(x)∙cos x + + Qm(x)∙sin x) |
k1, 2 ± i∙ |
ex(Rd(x)∙cos x + Sd(x)∙sin x) |
|
k1, 2 = ± i∙ |
xex(Rd(x)cos x+Sd(x)sin x) Rd(x), Sd(x) – многочлены степени d = max (n, m) с неопределенными коэффициентами. |
