§ 6. Дифференциальные уравнения второго порядка

Определение 18. Уравнение вида F (x, y, y, y) = 0 называется дифференциальным уравнением второго порядка или, если это возможно в виде разрешенном относительно старшей производной:

у  = f (x, y, y).

Задача Коши для уравнения второго порядка имеет вид

(8)

Т е о р е м а К о ш и. (существования и единственности задачи Коши). Если функция f (x, y, y) и ее частные производные f_y(x, y, y) и f_y(x, y, y) определены и непрерывны и следовательно ограничены в некоторой области пространства переменных (x, y, y), тогда в любой окрестности точки (х₀, у₀, у₀) этой области существует единственное решение уравнения у  = f (x, y, y), удовлетворяющее условиям

y = y₀, y  = y₀ при x = x₀.

Геометрически это означает, что через заданную точку (х₀, у₀) плоскости проходит единственная интегральная кривая с заданным угловым коэффициентом у₀ касательной в точке.

Определение 19. Функция у = φ (х, С₁, С₂) зависящая от х и двух произвольных постоянных С₁ и С₂ и при подстановке в уравнение у = f (x, y. y) обращающая его в тождество называется общим решением этого уравнения.

Геометрически общее решение уравнения второго порядка представляет собой бесконечную совокупность интегральных кривых, зависящую от двух независимых параметров С₁ и С₂.

Определение 20. Любая функция, получающаяся из общего решения уравнения (8) при определенных значениях постоянных С₁ и С₂, т. е. у = φ(х, С₁⁰, С₂⁰) называется его частным решением.

Геометрическое истолкование задачи Коши.

Для того, чтобы из совокупности интегральных кривых выбрать одну, недостаточно указать точку М₀(х₀, у₀), т. к. через нее проходит пучок интегральных кривых. Поэтому, чтобы из

семейства интегральных кривых выделить одну кривую К, следует помимо точки М₀(х₀, у₀) указать направление в котором кривая К проходит через точку М₀, т. е. задать tg ₀ угла образованного касательной к кривой К в точке М₀ и положительным направлением оси Ох, т. е. tg ₀ = у₀. То есть С₁ и С₂ общего решения уравнения (8) удовлетворяющие начальным условиям задачи Коши у (х₀) = у₀, у(х₀) = у₀ определяются из системы:

§ 7. Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

I. Уравнение вида у = f (x) не содержит явно у и у .

Вводим замену у  = р(х)  у = р(х) и подставим в уравнение: р = f (x)  уравнение первого порядка. Его решение

В более общем случае у ^(п) = f (x) решение получается путем п – кратного интегрирования функции f (x), т. е.

II. Уравнение вида у  = f (x, y ) не содержит явно у.

Полагая у  = р (х) получим у  = р(х) и подставив в уравнение получим уравнение первого порядка

р = f (x, p)

с неизвестной функцией р. Решая его найдем функцию р (х) = φ (х, С₁).

Так как р (х) = у , то у  = φ (х, С₁), отсюда интегрируя еще раз получим решение исходного уравнения

III. Уравнение вида у  = f (y, y ) не содержащим явно х. Вводится новая функция у  = р (у (х)). Тогда

Подставляя в уравнение получим уравнение первого порядка относительно функции р (как функции от у):

р р = f (y, p).

Решая его, найдем р = φ (у, С₁), т. к. р = у , то у  = φ (у, С), отсюда

.

В итоге, общий интеграл исходного уравнения имеет вид