Решение практических задач

П р и м е р 1. Вычислить интеграл .

Решение. Так как подынтегральная функция представляет собой произведение двух функций с одинаковым основанием, но разными степенями, то

Теперь воспользуемся формулой для х^п и получим

.

П р и м е р 2. Вычислить интеграл .

Решение. Так как подынтегральная функция представляет произведение функций, то произведем в данном интеграле замену переменной.

Заменим в интеграле соответствующие выражения и выполним преобразования.

Получили сумму двух функций, интегралы от которых берутся по отдельности с помощью таблицы интегралов.

П р и м е р 3. Вычислить интеграл .

Решение. Данный интеграл вычисляется методом замены по частям.

П р и м е р 9.4. Вычислить интеграл

Решение. 1.Так как подынтегральная функция представляет неправильную дробь, то сначала необходимо выделить целую часть рациональным методом деления числителя на знаменатель.

_{Получим}

2. Разложим знаменатель полученной правильной рациональной дроби на элементарные множители:

х³ – х² + х – 1 = (х – 1)(х² + 1);

Итак,

3. Методом неопределенных коэффициентов представим данную дробь в виде суммы двух простейших дробей по формуле (9.3):

;

Отсюда

Ах² + А + Вх² – Вх + Сх – С = 2;

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа последнего равенства, получим

Тогда

_{Окончательно получаем}

и

П р и м е р 5. Вычислить интеграл .

Решение. Так как в интеграле присутствуют корни различных степеней, то сначала находится наименьшее общее кратное между ними, а затем х в наименьшей степени заменяется через другую переменную, т. е.

Теперь, так как дробь неправильная, выделим целую часть и вычислим по отдельности полученные два интеграла, т. е.

П р и м е р 6. Вычислить интеграл .

Решение. Данная подынтегральная функция является тригонометрической, причем sin x присутствует в первой степени, поэтому воспользуемся следующей подстановкой ;

Теперь преобразуем полученное выражение и вычислим интеграл, используя таблицу интегралов.

П р и м е р 7. Вычислить интеграл .

Решение. Данная подынтегральная функция является тригонометрической, причем sin x и cos x присутствуют в четных степенях, поэтому распишем 1, которая домножена на sin² x и преобразуем полученное выражение.

Введем замену переменной .

П р и м е р 8. Вычислить интеграл .

Решение. Так как перед корнем стоит производная от подкоренного выражения, то заменим весь корень через другую переменную, а затем вычислим интеграл.

П р и м е р 9. Вычислить интеграл .

Решение. Сначала представим подынтегральную функцию в виде сумм двух простых функций по формуле , а затем вычислим полученные два интеграла, т. е.

Примеры для самостоятельного решения.

Вычислить интегралы

1. .	11. .
2. .	12. .
3. .	13. .
4. .	14. .
5. .	15. .
6. .	16. .
7. .	17. .
8. .	18. .
9. .	19. .
10. .	20. .

269