§ 3. Прямая и плоскость в пространстве

1. Угол между прямой и плоскостью. Пусть даны прямая

и плоскость

П: А х + В у + С z + D = 0.

Углом φ между прямой и плоскостью называют наименьший из углов, образованных прямой с ее проекцией на плоскость. Из рисунка видно, что

откуда .

Учитывая, что

и

находим

. (15)

2. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

L  П 

L || П  

3. Точка пересечения прямой с плоскостью. Пусть требуется найти точку пересечения прямой L:

с плоскостью П: А∙х + В∙у + С∙z + D = 0.

Проще всего это сделать с помощью параметрических уравнений прямой:

(16)

Каждому значению параметра t соответствует точка прямой. Нужно выбрать такое значение t, при котором точка прямой L будет лежать на плоскости П. Подставляя х, у, z из соотношений (7) в уравнение плоскости П, получим уравнение, из которого найдем значение параметра t. Затем найденное значение параметра t подставляем в уравнения (7). Полученные таким образом х, у, z и будут координатами точки пересечения прямой L и плоскости П.

4. Условие принадлежности прямой плоскости П. Пусть прямая L и плоскость П заданы уравнениями:

,

.

Для того чтобы прямая L принадлежала плоскости П, необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два условия:

– перпендикулярность векторов и ;

– точка М₀ прямой L лежала на плоскости, т. е. ее координаты удовлетворяли уравнению плоскости, а именно

(17)

5. Условие принадлежности двух прямых одной плоскости. Пусть прямые L₁ и L₂ заданы уравнениями

Данные прямые лежат в одной плоскости в том и только в том случае, если их направляющие векторы и и компланарны, т. е.

или

(18)

§4. Поверхности второго порядка

К поверхностям второго порядка относятся цилиндры, эллипсоиды, конусы, параболоиды и гиперболоиды. В декартовых координатах эти поверхности описываются уравнением: F (x, y, z), левая часть которого есть целый многочлен второй степени относительно x, y, z.

Поверхности второго порядка можно разбить на три группы. В каждой из них канонические уравнения поверхностей имеют общий признак, которому соответствуют некоторые особенности в расположении их относительно системы координат.

Рассмотрим канонические уравнения и изображение поверхностей каждой группы с указанием характерного признака в уравнении и особенности в расположении относительно системы координат.

§ 4.1. Цилиндры второго порядка

Определение 6. Цилиндрической поверхностью называется поверхность, описываемая прямой (образующая) движущейся вдоль некоторой линии (направляющая) и остающейся параллельной исходному направлению.

Определение 7. Цилиндром второго порядка называется цилиндрическая поверхность, направляющей которой является окружность, эллипс, гипербола или парабола.

Характерным признаком уравнений цилиндров второго порядка является отсутствие в этом уравнении одной из текущих координат.

Особенности построения: образующие параллельны той оси, координата которой отсутствует в уравнении. Уравнение направляющей совпадает с уравнением поверхности.

Таким образом, цилиндрические поверхности определяются одним из следующих уравнений:

F (x, y) = 0: образующая параллельна оси Оz, направляющая:

F (y, z) = 0: образующая параллельна оси Оx, направляющая:

F (x, z) = 0: образующая параллельна оси Оy, направляющая:

Составим таблицу цилиндров второго порядка.

Эллиптический цилиндр: направляющей является эллипс.
		. Направляющая – . Образующая || Oz.
		. Направляющая – . Образующая || Oх.
		. Направляющая – . Образующая || Oу.
Круговой цилиндр: направляющей является окружность.
		а = R; b = R; c = R. , образующая || Oz. , образующая || Oх. , образующая || Oу.
Гиперболический цилиндр: направляющей является гипербола.
		а) . Направляющая – . Образующая || Oz, ось Ох – мнимая.
		б) . Направляющая – . Образующая || Oz, ось Оу – мнимая.
в) . Направляющая – . Образующая || Oу, ось Ох – мнимая. г) . Направляющая– . Образующая || Oу, ось Оz – мнимая. д) . Направляющая – . Образующая || Ox, ось Оy – мнимая. е) . Направляющая – . Образующая || Ox, ось Оz – мнимая.
Параболический цилиндр: направляющей является парабола.
	а) y2 = 2 p x, образующая || оси Оz, направляющая: .
	б) х2 = 2 p у, образующая || оси Оz, направляющая: .
в) y2 = 2 p z, образующая || оси Оx, направляющая:
г) z2 = 2 p y, образующая || оси Оx, направляющая:
д) x2 = 2 p z, образующая || оси Оy, направляющая:
е) z2 = 2 p x, образующая || оси Оy, направляющая: