
- •Глава 5 Аналитическая геометрия в пространстве
- •§ 1. Плоскость
- •1. Угол между плоскостями.
- •2. Условие перпендикулярности двух плоскостей
- •3. Условие параллельности двух плоскостей
- •4. Условие совпадения плоскостей
- •§ 2. Прямая в пространстве
- •§ 3. Прямая и плоскость в пространстве
- •§4. Поверхности второго порядка
- •§ 4.1. Цилиндры второго порядка
- •§ 4.2. Эллипсоид, конус, гиперболоид
- •§ 4.3. Параболоиды.
- •«Прямая и плоскость в пространстве»
- •Решение практических задач по теме: «Плоскость»
- •Решение практических задач по теме: «Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости»
- •Решение практических задач по теме: «Поверхности второго порядка»
- •Примеры для самостоятельного решения
Глава 5 Аналитическая геометрия в пространстве
§ 1. Плоскость
Определение 1. Плоскостью будем называть поверхность, обладающую тем свойством, что прямая, проведенная через любые две точки плоскости, целиком принадлежит ей.
Определение 2.
Ненулевой вектор, перпендикулярный к
плоскости, будем называть нормальным
вектором
плоскости и обозначать
.
Общее уравнение плоскости.
Т е о р е м а 1. Любая плоскость в декартовой системе координат определяется линейным уравнением вида:
А х + В у + С z + D = 0 – (1)
где
А,
В,
С
– координаты нормального вектора
данной плоскости, х,
у,
z
– текущие координаты точек плоскости.
Доказательство.
Пусть П
– данная плоскость,
– нормальный вектор этой плоскости.
Возьмем на плоскости произвольную точку
М (х,
у,
z).
Тогда
– радиус – вектор точки М.
Очевидно, что проекция радиуса – вектора любой точки плоскости на нормальный
вектор
является величиной постоянной.
Это условие имеет место лишь для точек плоскости; оно нарушается, если точка М лежит вне плоскости.
Из векторной
алгебры известно, что
,
следовательно
Тогда
или
.
Обозначим
,
тогда уравнение примет вид
.
Это уравнение
представляет общее уравнение плоскости
в векторной форме. Записав скалярное
произведение векторов
и
в координатной форме, получим уравнение
(1), т. е. общее уравнение плоскости.
Анализ общего уравнения плоскости
Уравнение плоскости |
Характеристики плоскости |
Изображение плоскости |
1) А∙х + В∙у + С∙z = 0, D = 0. |
Уравнению удовлетворяет точка О (0; 0; 0). Следовательно, в этом случае плоскость проходит через начало координат. |
|
2) А∙х + В∙у + D = 0, С = 0. |
Нормальный вектор
|
|
3) А∙х + С∙z + D = 0, В = 0. |
Нормальный вектор
|
|
4) В∙у + С∙z + D = 0, А = 0. |
Нормальный вектор
|
|
5) А∙х + В∙у = 0, С = D = 0. |
Плоскость проходит через О (0; 0; 0) параллельно оси Oz, т. е. плоскость проходит через ось Оz. |
|
6) А∙х + С∙z = 0, В = D = 0. |
Плоскость проходит через О (0; 0; 0) параллельно оси Oy, т. е. плоскость проходит через ось Оy. |
|
7) B∙y + C∙z = 0, А = D = 0. |
Плоскость проходит через О (0; 0; 0) параллельно оси Ox, т. е. плоскость проходит через ось Оx.
|
|
8) С∙z + D = 0,
А
= В
= 0, т. е.
|
Плоскость параллельна плоскости Оху.
|
|
9) В∙у + D = 0,
А
= С
= 0, т. е.
|
Плоскость параллельна плоскости Охz.
|
|
10) A∙x + D = 0,
B
= C
= 0, т. е.
|
Плоскость параллельна плоскости Оyz.
|
|
11) С∙z = 0, А = В = D = 0, т. е. z = 0. |
Это уравнение плоскости Оху.
|
|
12) В∙у = 0, А = С = D = 0, т. е. у = 0. |
Это уравнение плоскости Охz.
|
|
13) A∙x = 0, B = C = D = 0, т. е. x = 0. |
Это уравнение плоскости Оyz.
|
|
Взаимное расположение плоскостей